# Активное сопротивление, часть 3: две попытки, одна мощность. Методы возмущения

> У метода малых возмущений, вспомогательной и тормозящей буксировки общие уравнение и допущение, а вариант из теории корабля разделяет с ними только допущение. Как работает уравнение, во что обходится допущение и почему величина возмущения не настройка, а дилемма.

- Источник: https://swimas.co.nz/ru/blog/active-drag-3-two-swims-one-power/
- Простым языком (ELI5): https://swimas.co.nz/ru/blog/active-drag-3-two-swims-one-power/eli5/
- По-английски: https://swimas.co.nz/blog/active-drag-3-two-swims-one-power/
- Автор: В. Карпов, swimas (Swimming Art & Science), Новая Зеландия
- Опубликовано: 18 окт 2026
- Темы: Активное сопротивление, Биомеханика; стили: FR, BK, BR, FL

Методы, о которых пойдёт речь в этой статье, именно те, с которыми большинству тренеров скорее всего придётся иметь дело на практике: для них не нужны ни гидроканал, ни штанга с датчиками. Достаточно обычного бассейна, системы хронометража и либо тела с известным сопротивлением, которое буксирует пловец, либо лебёдки с динамометром, которая буксирует самого пловца. Большинство этих методов объединяет одно и то же уравнение, а все без исключения одно и то же допущение, и почти всё, что о них стоит знать, прямо вытекает из этих двух вещей.

## Уравнение

Обозначим через $D$ сопротивление, которое выводит модель метода возмущения, а через $P = D \cdot v$ соответствующую ему мощность; как эти расчётные величины связаны с лобовым сопротивлением тела и с его полной внешней механической мощностью, зависит от физической трактовки, которую мы подробно разберём в части 4. Допустим, что в двух попытках пловец развивает одну и ту же мощность $P$. В первой, свободной попытке он достигает скорости $v_1$, преодолевая лишь собственное сопротивление $D_1$; во второй он плывёт со скоростью $v_2$, преодолевая собственное сопротивление $D_2$ плюс известную дополнительную силу $F_\mathrm{b}$. Тогда условие равенства мощностей запишется так:

$$P = D_1 v_1 = (D_2 + F_\mathrm{b})\,v_2.$$


Если сопротивление пропорционально квадрату скорости, $D = k \cdot v^2$, где $k$ обозначает постоянный для пловца коэффициент, то $D_2 = D_1 \cdot (v_2/v_1)^2$, и из уравнения легко находится единственная неизвестная $k$. Для тормозящего возмущения ($v_2 < v_1$) получаем

$$D_1 = \frac{F_\mathrm{b}\, v_2\, v_1^2}{v_1^3 - v_2^3},$$


а для ускоряющего ($v_2 > v_1$, когда сила $F_\mathrm{b}$ тянет пловца вперёд) в знаменателе стоит $v_2^3 - v_1^3$. Мощность на преодоление сопротивления равна $D_1 \cdot v_1$ (в школе Колмогорова её называют полной механической мощностью; часть 4), а безразмерный коэффициент сопротивления получают делением $D_1$ на $\tfrac{1}{2}\rho \cdot A \cdot v_1^2$, где $\rho$ обозначает плотность воды, а за $A$ берут ту характерную площадь, которую выбрал автор.

Вот, собственно, и весь метод. Всё остальное сводится к тому, как сделать две попытки сопоставимыми и как измерить скорости.

## Метод малых возмущений

**Рисунок 1.** Метод малых возмущений. Две попытки с максимальной скоростью, время фиксируют на мерном отрезке 30 м (в протоколе 1992 года это отрезок между отметками 15 и 45 м 50-метрового бассейна; Колмогоров и Дуплищева, 1992); во второй попытке пловец буксирует тарированное тело (заполненный водой цилиндр под поплавком) в нескольких длинах тела позади себя. По снижению скорости и сопротивлению тела находят активное сопротивление при максимальной скорости.

Анимация двух попыток одного пловца с максимальной скоростью, показанных одновременно на двух дорожках. На схеме 50-метрового бассейна отмечены 15 и 45 м. На первой дорожке попытка без нагрузки, на второй попытка с буксировкой небольшого заполненного водой цилиндра под поплавком на шнуре длиной от 3.5 до 4.5 длины тела (на рисунке шнур укорочен и показан с разрывом, а тело больше настоящего). Шнур идёт от пояса на спине пловца вверх, через небольшой блок, скользящий по тросу над водой, и вниз к носу поплавка: длинного корпуса из пенопласта, под которым поперёк хода закреплён цилиндр. Секундомер на каждой дорожке идёт от 15 до 45 м: попытка без нагрузки занимает 16.40 с, попытка с телом 17.23 с, и к концу отрезка пловец отстаёт примерно на 1.5 м. Ниже по мере появления чисел заполняется расчёт: свободная скорость v1 = 30 / 16.40 = 1.8293 м/с; скорость с нагрузкой v2 = 30 / 17.23 = 1.7411 м/с; снижение скорости 1 − v2/v1 = 4.8 %; тарированное сопротивление тела при скорости v2, Fb = 12.5 Н; мощность в обеих попытках одинакова, D1·v1 = (D2 + Fb)·v2, где D1 и D2 обозначают собственное сопротивление пловца в свободной попытке и в попытке с нагрузкой, при D = k·v² с постоянным k; отсюда D1 = Fb·v2·v1² / (v1³ − v2³) = 12.5·1.7411·1.8293² / (1.8293³ − 1.7411³) = 86 Н, то есть активное сопротивление при свободной скорости. Скорости взяты с четырьмя знаками: если округлить их до двух, тот же расчёт даёт 85 Н.


Группа Колмогорова называет этот подход методом малых возмущений (SPM); на английском языке его впервые представили Колмогоров и Дуплищева (1992). В англоязычной литературе за ним закрепилось название «метод возмущения скорости» (velocity perturbation method), хотя сам Колмогоров предпочитает термин «метод малых возмущений» (Колмогоров, 2025); впрочем, в 1997 году этим английским названием пользовались и сами Колмогоров с соавторами (Колмогоров и др., 1997), а сокращение VPM широко распространилось после работы Toussaint et al. (2004). Пловец дважды проплывает с максимальной скоростью мерный отрезок 30 м. Во второй попытке он буксирует на шнуре длиной от 3.5 до 4.5 длины тела дополнительное гидродинамическое тело, небольшой заполненный водой цилиндр под поплавком, сопротивление которого заранее тарировано в зависимости от скорости. Набор тел разного размера позволяет подобрать возмущение под конкретного пловца.

Рекомендации о величине возмущения от публикации к публикации менялись. Статья 1992 года допускала снижение скорости примерно до 10 % (Колмогоров и Дуплищева, 1992). Работы Колмогорова и др. (2021) и Колмогорова (2023) настоятельно рекомендуют удерживать снижение скорости $\Delta v_0 = (1 - v_2/v_1) \times 100\,\%$, где $v_1$ обозначает свободную скорость, а $v_2$ скорость с нагрузкой, в узком коридоре 4–6 %; книга (Колмогоров, 2025) называет этот диапазон оптимальным, а статья 2021 года называет это условие «ключевым моментом VPM (влияющим на точность измерения)» (Колмогоров и др., 2021, с. 4). В статье Колмогорова (2023) и в книге снижение скорости на 10–18 %, которое использовал ряд других групп, прямо расценивается как нарушение технологии метода, систематически занижающее сопротивление. С другой стороны, при снижении меньше чем на 4 %, пишет автор, различить две скорости можно было бы лишь «приборами существенно более высокой точности» (Колмогоров, 2023, с. 2). Так сам создатель метода формулирует метрологический компромисс, к математической стороне которого мы ещё вернёмся. Исследования, на котором основан этот более узкий коридор, в просмотренных материалах я не нашёл: книга ссылается на «специальные метрологические исследования» (Колмогоров, 2025, с. 53) и называет источником критерия работу Колмогорова и др. (1997), статья 2023 года отсылает к работам Колмогорова (2008) и Колмогорова и др. (2021), а в статье 1997 года в Journal of Applied Biomechanics и в статье 2008 года этот интервал не фигурирует. Между тем на практике эта деталь имеет принципиальное значение.

Первичная верификация метода в 1992 году включала две проверки: контрольную буксировку с дополнительным телом и без него на установке гравитационного типа (73.25 против 74.16 Н, «исходная погрешность составляла около 1 %»; Колмогоров и Дуплищева, 1992, с. 315) и сравнение двух тел разного размера на 20 кролистах (50.21 против 50.99 Н). Погрешность из-за внутрицикловых колебаний скорости оценили математическим моделированием в 6–8 %.

Тридцать лет спустя Колмогоров (2023) сравнил три варианта протокола на двенадцати кролистах высокой квалификации (780–850 очков FINA). В двух из них использовался уже упомянутый гидродинамический стенд, построенный в 2011 году над крайней дорожкой 50-метрового бассейна: он даёт активное сопротивление по одной 50-метровой попытке. Тело подвешено к каретке, которая скользит по тросу, натянутому в 0.5 м над водой; пловец буксирует его от отметки 3 м до отметки 23 м, где тело автоматически отцепляет электромагнитный замок. Антенны у бортика считывают сигнал небольшого датчика на пловце и дают скорость с нагрузкой на отрезке 10–25 м и свободную скорость на отрезке 30–45 м, причём каждое пересечение отметки фиксируется с точностью до 0.01 с; силу измеряет тензодатчик в тросе, а объём буксируемого цилиндра подбирают так, чтобы скорость снижалась на 4–6 %. Во втором варианте на стенде отрезки поменяли местами (сначала свободное плавание, потом с нагрузкой), а третьим, на следующий день, был классический тест из двух отдельных попыток. Среднее сопротивление по группе составило 106.9, 107.0 и 108.3 Н. В качестве погрешностей автор приводит наибольшие расхождения между вариантами у отдельного пловца: 2.4 % между двумя вариантами на стенде в один и тот же день (для мощности; для сопротивления 2.3 %) и 5.4 % между классическим тестом и стендом накануне (для коэффициента; для сопротивления 5.2 %) (Колмогоров, 2023, с. 6). Систематическое смещение от −2.1 до −2.9 % не измерено, а рассчитано компьютерным моделированием по критериям подобия Фруда, Рейнольдса и Струхаля. Для оценки сходимости автор приводит коэффициент корреляции Пирсона (0.979 для сопротивления в пределах дня, 0.926 между днями), а не ICC. Мой пересчёт по округлённым индивидуальным значениям его таблицы 2 (двухфакторный ICC абсолютного согласия для одиночных измерений; типичная ошибка рассчитана как стандартное отклонение разностей, делённое на $\sqrt{2}$, в процентах от среднего по основному варианту стенда) даёт ICC 0.98 и типичную ошибку 1.0 % в пределах дня, а между днями 0.91 и 1.9 %, правда, для двух разных установок в фиксированном порядке. Это самая близкая к проверке между днями оценка, какая есть у метода; опубликованной оценки повторяемости (тест-ретест) самого классического теста из двух попыток по одному и тому же протоколу в рассмотренных источниках я не нашёл. К слову, в повторных измерениях у Toussaint et al. (2004) один и тот же пловец в трёх тестах показал 33.0, 39.0 и 50.6 Н, причём наибольшее значение получено при более низкой свободной скорости.

Широкую известность методу принесли его результаты. Колмогоров и Дуплищева (1992) обследовали 73 пловца сборной СССР во всех четырёх способах плавания и сообщили о неожиданном результате: в кроле на груди, на спине и в дельфине активное сопротивление «у большинства наших пловцов» оказалось ниже пассивного (с. 318; по столбцу отношений в их таблицах 1–6 оно ниже в 25 тестах из 67, то есть в 37 % случаев, причём некоторые пловцы выступали в нескольких способах); в брассе же оно всегда было выше. В кроле на груди у мужчин значения лежали в пределах от 42 до 167 Н, а коэффициент гидродинамической силы, нормированный на объём тела в степени 2/3, составлял от 0.17 до 0.46 против 0.24–0.29 при пассивной буксировке. Исследование 1997 года на 797 пловцах (Колмогоров и др., 1997) не выявило различий в коэффициенте активного сопротивления между мужчинами и женщинами при одинаковой абсолютной скорости и выстроило способы плавания в ряд: самые низкие значения у кроля, близкие у плавания на спине и дельфина, самые высокие у брасса. Для мужчин в кроле на груди при 1.5 м/с там приведено всего 28 Н, тогда как на системе MAD примерно при той же скорости в голландских данных получено 53 Н (van der Vaart et al., 1987); двукратную разницу авторы объяснили квалификацией пловцов и тем, с каким усилием они плыли. Объясняя неожиданный результат 1992 года, авторы осторожно назвали три возможные причины: внутрицикловые колебания скорости (буксировочный опыт с кулачковым механизмом показал, что они заметно снижают сопротивление), меньшую площадь тела, обращённую к потоку, и пронос рук над водой (Колмогоров и Дуплищева, 1992). Отсюда же они вывели, что коэффициент активного сопротивления зависит от техники гораздо сильнее, чем от телосложения; эта мысль развита в статье 1997 года и в книге (Колмогоров, 2025; Колмогоров и др., 1997). В части 4 мы увидим, как та же группа позднее по-новому истолковала, что именно измеряет метод.

Модификаций у метода много. Wang et al. (2007) заменили буксируемое тело сухим трением: полая металлическая втулка скользила по стальному тросу диаметром 3 мм, натянутому на высоте 0.49 м вдоль 50-метровой дорожки, а силу трения задавали три подпружиненных болта, прижимавших к тросу стальные шарики. Тензодатчик, опрашиваемый с частотой 105 Гц, соединял втулку с 4-метровым мягким шнуром, прикреплённым к поясу пловца. Шесть пловцов национального уровня проплывали по 25 м свободно и с нагрузкой, кролем на груди и брассом, по четыре раза в каждом условии; время фиксировали по видеозаписи на отрезке от 7.5 до 22.5 м. Оказалось, что тормозящая сила на самом деле «величина переменная, а не постоянная, как предполагали Колмогоров и Дуплищева (1992)» (с. 377): шнур то провисал, то натягивался в такт внутрицикловым колебаниям скорости пловца. Тем не менее в уравнение по-прежнему подставляли её среднее значение. Активное сопротивление в кроле на груди составило от 48.6 до 105.9 Н у трёх мужчин и от 36.3 до 50.3 Н у трёх женщин (с. 375). В ряде португальских исследований используют попытки на 25 м с хронометражем на отрезке 13 м и нормируют коэффициенты на площадь миделя, поэтому полученные коэффициенты напрямую несопоставимы с колмогоровскими (Barbosa et al., 2013; Marinho et al., 2010; Morais et al., 2023); впрочем, способ нормирования зависит от конкретной статьи, а не от страны: Alves et al. (2024), из той же португальской традиции, нормировали на объём тела в степени 2/3. Наконец, Gonjo и Olstad (2022) применили роботизированное нагрузочное устройство на стартовой тумбе, и именно в их исследовании воспроизводимость метода впервые получила строгую количественную оценку.

## Вспомогательная и тормозящая буксировка

**Рисунок 2.** Вспомогательная буксировка. Динамометр буксирует пловца со скоростью на 5–10 % выше максимальной и регистрирует силу буксировки по ходу цикла. Расчёт ведут по тому же уравнению, только с обратным знаком. В тормозящем варианте скорость буксировки немного ниже максимальной. График силы схематический; его среднее значение и скорости взяты для иллюстрации в пределах опубликованных диапазонов.

Анимация вспомогательной буксировки. На схеме 50-метрового бассейна у дальнего торца показан динамометр на силовой платформе. Сбоку показан пловец (вид смещается вместе с ним): шнур от поясного ремня к динамометру буксирует его со скоростью 1.98 метра в секунду, на 7 % выше его максимальной скорости свободного плавания (1.85 м/с); стрелка у ремня показывает силу буксировки. Ниже идёт график силы буксировки по ходу попытки: она колеблется примерно от 12 до 35 ньютонов и проседает при каждом гребке, когда пловец подтягивается сам и тянуть его нужно слабее; среднее значение 23 Н. Расчёт, где v1 обозначает свободную скорость (1.85), v2 скорость на буксире (1.98), Ft среднюю силу буксировки, а D1 и D2 собственное сопротивление пловца при v1 и v2: мощность та же, что в свободном плавании, D1·v1 = (D2 − Ft)·v2 при D = k·v² с постоянным k, отсюда D1 = Ft·v2·v1² / (v2³ − v1³) = 23·1.98·1.85² / (1.98³ − 1.85³) = 109 Н, то есть активное сопротивление при свободной скорости. Это уравнение метода малых возмущений с обратным знаком.


В Австралийском институте спорта (AIS) знак возмущения поменяли на противоположный. Динамометр на силовой платформе у торца бассейна буксирует пловца за поясной ремень со скоростью на 5–10 % выше его максимальной и регистрирует помогающую силу (Alcock & Mason, 2007; Mason, Toussaint, et al., 2013). В варианте с постоянной скоростью сила буксировки может доходить до 550 Н. Поэтому в варианте с колеблющейся скоростью силу ограничивают средним пассивным сопротивлением самого пловца (Mason et al., 2011), а в исследованиях Hazrati величиной от четверти до половины пассивного сопротивления (Hazrati et al., 2013; Hazrati et al., 2015) или от половины до трёх четвертей (Hazrati, 2016), чтобы скорость пловца по-прежнему могла естественно меняться внутри цикла. Главное достоинство подхода в том, что он даёт непрерывную кривую силы во времени, синхронизированную с видеозаписью; в AIS её активно использовали для обратной связи по технике (Mason, Kolmogorov, et al., 2013; Mason et al., 2012; Mason, Toussaint, et al., 2013; Mason et al., 2014). Параллельно испытывали тормозящий вариант (RTM), в котором пловца удерживают небольшой силой: 12–21 Н на семинаре 2013 года (Mason, Kolmogorov, et al., 2013) при рекомендованных там же 10–20 Н (Mason, Toussaint, et al., 2013) и 4–10 Н в более поздней работе Hazrati (Hazrati, Mason, et al., 2014). По итогам семинара его участники рекомендовали усреднять результаты обоих вариантов.

Воспроизводимость здесь высокая и, судя по всему, тем выше, чем жёстче установка навязывает пловцу режим движения, хотя показатели в литературе разнородные: ICC 0.99 при буксировке с постоянной скоростью (Formosa et al., 2010), 0.91 при буксировке на 10 % быстрее максимальной скорости (Formosa et al., 2012), а при буксировке с колеблющейся скоростью 0.80–0.85 в пределах одного дня для одиночных попыток и 0.92–0.93 между днями для средних из пяти попыток (Hazrati et al., 2013; Hazrati et al., 2016).

Сами значения сопротивления здесь самые высокие среди методов возмущения. При буксировке с постоянной скоростью 18 пловцов национальной сборной у мужчин получено 228 ± 11 Н при 1.89 м/с против пассивного сопротивления 79 Н, то есть примерно втрое больше (Formosa et al., 2010). Буксировка с колеблющейся скоростью дала у мужчин от 78 до 169 Н в разных исследованиях Hazrati (Hazrati, 2016). У одних и тех же десяти пловцов вспомогательная и тормозящая буксировка дали в среднем 105 и 91 Н. Статистически эти значения неразличимы (Hazrati, Mason, & Sinclair, 2014), но корреляция между ними составляет лишь $r = 0.32$ (Hazrati, 2016; по таблице индивидуальных значений той же диссертации она даже отрицательна, см. часть 5), и в диссертации Hazrati сделан вывод: «одни и те же значения активного сопротивления не могут быть получены двумя методами, вспомогательной и тормозящей буксировкой» (с. 164).

Диссертация Hazrati примечательна ещё и тем, что остаётся единственной работой в литературе с полным бюджетом неопределённости. Проследив распространение погрешностей через уравнение для двенадцати пловцов и приняв, что равенство мощности нарушается на 7.5 %, она получила суммарную неопределённость 38 ± 13 Н при среднем сопротивлении 113 Н. Из них 36 Н пришлись на нарушение равенства мощности; вклад каждой из двух скоростей составил 6–7 %, силы на поясе 2–3 %, допущения о показателе степени около 5 % (Hazrati, 2016). Направление смещения вполне предсказуемо: когда пловца буксируют быстрее его собственной скорости, он может невольно расслабиться и позволить буксиру себя тянуть, и сопротивление получается завышенным (Hazrati сделала такой вывод по изменившимся фазам гребка); когда же его удерживают, мощность падает, и сопротивление занижается. К тому же профиль скорости на буксире не такой, как в свободном плавании: внутрицикловой размах колебаний 13–25 % при буксировке против 19–36 % в свободном плавании, а фазовая структура гребка изменена (Hazrati, 2016; Hazrati et al., 2015).

В книге Колмогорова (Колмогоров, 2025) буксировка с навязанной извне скоростью расценивается как нарушение динамического подобия по критерию Струхаля: если скорость задаётся извне, меняется отношение произведения частоты гребков на характерную длину к скорости. Данные семинара 2013 года (Mason, Kolmogorov, et al., 2013) он трактует как опровержение ATM: в группе, тестировавшейся на 10 м, вспомогательная буксировка дала большие значения, чем метод возмущения, а в группе, тестировавшейся на 20 м, методы расположились в другом порядке. Группа AIS сделала из тех же цифр более осторожный вывод: методы «безусловно, в целом не согласуются друг с другом» (Mason, Kolmogorov, et al., 2013). Цифры одни и те же, расходятся только трактовки.

Третий вариант, заимствованный из теории корабля (NABA), предложили Webb et al. (2011). Одного пловца буксировали со скоростью на 5, 10 и 15 % выше максимальной; темп при этом должен был расти пропорционально скорости, чтобы относительная поступь оставалась постоянной (полностью выдержать это пловцу не удалось). Сопротивление рассчитывали по модели коэффициента засасывания из теории судовых движителей, которая не требует допущения, что сопротивление пропорционально $v^2$. Результат, 133.9 ± 3.6 Н, практически совпал со значением, которое дала формула метода возмущения для тех же буксировок (131.4 ± 4.4 Н), однако разброс между попытками в каждом режиме буксировки у NABA был в 2.6–5.1 раза меньше (стандартные отклонения 1.5–3.0 Н против 6.0–15.2 Н). На группе пловцов этот эксперимент больше не повторяли.

## Допущение и его цена

Вся алгебра методов возмущения держится на условии «одинаковая мощность в обеих попытках». Между тем ни в одном из рассмотренных исследований мощность в обеих попытках напрямую не измеряли, поэтому судить о справедливости этого допущения приходится по косвенным данным.

Toussaint et al. (2004) обследовали шестерых высококвалифицированных пловцов на системе MAD и методом возмущения, в обоих случаях при плавании только на руках. При 1.64 м/с метод возмущения дал в среднем 53.2 Н против 66.9 Н на MAD, а у отдельных пловцов результат составлял от 44 % величины, полученной на MAD, до превышения её на 22 %. Когда авторы построили регрессию расхождения в сопротивлении на разницу мощностей в двух попытках метода возмущения (обе мощности рассчитаны по калибровочной кривой MAD, в попытке с нагрузкой мощность была в среднем на 13 Вт ниже), эта разница объяснила 88 % дисперсии расхождения. Анализ чувствительности показал, что «разница в мощности на 15 % приводит к ошибке в 30 % при определении сопротивления» (с. 1660). Кроме того, по оценке тех же авторов, если принять $n = 2$ вместо измеренного среднего значения 2.34, результат смещается ещё примерно на 10 %.

Другое объяснение того же занижения, на которое указывали уже Toussaint et al. (2004), подробно развито в книге Колмогорова (Колмогоров, 2025). Слишком большое буксируемое тело меняет кинематику рук и ног, создающих тягу. Мощность перераспределяется: на полезную работу против лобового сопротивления её идёт меньше, а на разгон воды назад и образование вихрей больше. Продвигающая эффективность падает, и в уравнение попадает вторая попытка, которая биомеханически уже не соответствует первой, даже если полная механическая мощность пловца осталась прежней. Оба объяснения предсказывают ошибку одного знака, и имеющиеся данные не позволяют их разделить.

## Дилемма возмущения

Здесь больше всего дают самые новые данные: они указывают на закономерность, которую можно не обсуждать умозрительно, а строго вывести.

В исследовании Gonjo и Olstad (2022) восемь мужчин и восемь женщин дважды, в разные дни, проплывали спринтерские отрезки 25 м с пятью ступенями нагрузки, которую создавало роботизированное устройство (от 17 до 101 Н у мужчин, от 16 до 58 Н у женщин). Сопротивление рассчитывали по уравнению метода возмущения для каждой нагрузки, а максимальную скорость свободного плавания оценивали по индивидуальному нагрузочно-скоростному профилю. С ростом нагрузки расчётное сопротивление снижалось: у мужчин от 83.5 Н при добавленных 17 Н до 50.8 Н при добавленных 101 Н (во второй день не на каждой ступени), у женщин от 59.4 до 41.0 Н. При самых больших нагрузках сопротивление опускалось ниже опубликованных значений пассивного сопротивления, и авторы расценили это как явное занижение. С воспроизводимостью картина совсем другая: при самой лёгкой нагрузке (16–17 Н) она была низкой (ICC у мужчин 0.40, типичная ошибка 23 %), наилучшей при добавленных 37–60 Н (ICC 0.94–0.97, типичная ошибка не более 4.4 %), а при двух самых тяжёлых нагрузках у мужчин снова снижалась (ICC 0.91–0.92, типичная ошибка от 6 до 7.6 %). Рабочим диапазоном авторы рекомендовали 37–60 Н, прямо предупредив, что значения в нём «вероятно, занижены» (Gonjo & Olstad, 2022, с. 5).

**Рисунок 3.** Дилемма возмущения. Слева: измеренное сопротивление в зависимости от нагрузки и снижения скорости (Gonjo & Olstad, 2022; Δv0 рассчитано по их таблицам). Справа: условная чувствительность уравнения метода возмущения к независимым ошибкам измерения скоростей ε, в первом приближении при неизменном сопротивлении нагрузки Fb; при малом снижении скорости Δv0 около √2·ε/Δv0. Это не измеренная погрешность какого-либо стенда.

Две панели. Слева показаны измерения (Gonjo и Olstad 2022): активное сопротивление по VPM при максимальной скорости в зависимости от добавленной тормозящей силы; с ростом нагрузки оно снижается и у мужчин (максимальная скорость 1.83 м/с), и у женщин (1.57 м/с); у каждой точки подписано снижение скорости, рассчитанное по их таблицам. Типичная ошибка между днями у мужчин: 23 % при 17 Н, 3–4 % при 38–59 Н, 6–8 % при 80–101 Н.

| Группа | Добавленная сила, Н | Активное сопротивление, Н | Снижение скорости, % |
| :-- | --: | --: | --: |
| Мужчины | 16.6 | 83.5 | 9.3 |
| Мужчины | 37.9 | 73.3 | 18.0 |
| Мужчины | 59.1 | 67.3 | 30.6 |
| Мужчины | 80.2 | 57.7 | 43.7 |
| Мужчины | 101.5 | 50.8 | 59.6 |
| Женщины | 16.1 | 59.4 | 10.2 |
| Женщины | 26.6 | 52.6 | 18.5 |
| Женщины | 37.1 | 45.7 | 28.0 |
| Женщины | 47.7 | 44.3 | 36.9 |
| Женщины | 58.2 | 41.0 | 46.5 |

Справа показан прогноз по уравнению VPM: условная чувствительность формулы при неизменной Fb, а не измеренная погрешность какого-либо стенда; случайная ошибка активного сопротивления в процентах (одно стандартное отклонение) в зависимости от снижения скорости в попытке с нагрузкой Δv0 (от 0 до 40 %) при независимых ошибках ε каждой измеренной средней скорости 0.2, 0.5 и 1.0 % (около 0.03, 0.075 и 0.15 с в попытке длительностью 15 с): ошибка ≈ √2·ε·(1 + 2r³)/(1 − r³), где r = 1 − Δv0 (при малых потерях около √2·ε/Δv0), и круто растёт при снижении скорости меньше 10 %. Отмечены: оптимум Колмогорова, 4–6 %; нагрузки, при которых у Gonjo воспроизводимость была наилучшей; наблюдавшиеся у Gonjo типичные ошибки для мужчин (при более тяжёлых нагрузках, со снижением скорости 44 и 60 %, они за пределами оси: 6.1 и 7.6 %). Для малых δ = Δv0 активное сопротивление Da = Fb·v2·v1²/(v1³ − v2³) ≈ Fb/(3δ), где Fb обозначает сопротивление нагрузки, v1 свободную скорость, а v2 скорость с нагрузкой.


Если пересчитать их нагрузки в снижение скорости, получится $\Delta v_0$ от 9 до 60 % у мужчин и от 10 до 47 % у женщин. Ни одно из условий не попало в рекомендованный Колмогоровым коридор 4–6 % (Колмогоров и др., 2021): нагрузка, дающая такое снижение, составила бы примерно 7–15 Н, то есть была бы меньше самой лёгкой и наименее воспроизводимой из использованных. Предписанный теорией оптимум и измеренная воспроизводимость оказались на противоположных концах шкалы.

Противоречия здесь нет: это неизбежный компромисс, заложенный в самой алгебре метода. Если записать вторую скорость через относительное снижение скорости $\delta$ как $v_2 = v_1 \cdot (1 - \delta)$, формула примет вид

$$D_1 = \frac{F_\mathrm{b}\,(1 - \delta)}{3\delta - 3\delta^2 + \delta^3} \approx \frac{F_\mathrm{b}}{3\delta} \quad \text{при малых } \delta.$$


Знаменатель прямо пропорционален снижению скорости $\delta$. Если каждая из двух скоростей известна с независимой относительной ошибкой $\varepsilon$ (из-за неточности хронометража, собственной нестабильности пловца или того, что $v_1$ оценивают, а не измеряют), относительная ошибка сопротивления в первом приближении составит $\sqrt{2} \cdot \varepsilon \cdot (1 + 2r^3)/(1 - r^3)$, где $r = v_2/v_1$, а при малых $\delta$ сводится примерно к $\sqrt{2} \cdot \varepsilon/\delta$. Подчеркнём: это условная чувствительность самой формулы, а не инструментальная погрешность какого-либо стенда; вывод предполагает одинаковые независимые относительные ошибки двух скоростей и неизменную $F_\mathrm{b}$. Если же $F_\mathrm{b}$ берут из тарировочной зависимости тела при скорости $v_2$, ошибка $v_2$ искажает и $F_\mathrm{b}$, и полный бюджет погрешности должен учитывать эту связь, собственную погрешность динамометра и возможную корреляцию ошибок. При $\delta = 5$ % ошибка хронометража всего 0.5 % (0.075 с в попытке длительностью 15 с) даёт ошибку в сопротивлении около 13 %; чтобы удержать случайную ошибку сопротивления в пределах 5 %, скорости в обеих попытках нужно знать с точностью около 0.2 %, то есть примерно до 0.03 с. (Величина 5.4 % у Колмогорова соответствует наибольшему расхождению между двумя вариантами теста у одного пловца, а не стандартной ошибке. Для пересечения каждой отметки в статье указана точность 0.01 с; это ещё не задаёт стандартную неопределённость времени отрезка и ковариацию ошибок отсчёта времени (Колмогоров, 2023, с. 3, 6).) Зато при $\delta = 18$ % та же ошибка хронометража 0.5 % даёт около 3.3 %, того же порядка, что и типичная ошибка, которую наблюдали Gonjo и Olstad (2022) при таком снижении скорости (3.6 % у мужчин, 4.6 % у женщин); это сравнение лишь иллюстративное, поскольку свободную скорость они оценивали по нагрузочно-скоростному профилю, и ошибки двух скоростей могли быть коррелированы. При самых тяжёлых нагрузках ошибка хронометража должна сказываться ещё меньше, и всё же воспроизводимость там снова снизилась: значит, на первый план выходят другие источники шума. Если удлинить хронометрируемый отрезок, ошибка хронометража пропорционально уменьшится, но лишь до известного предела: максимальную скорость пловец долго не удержит; попытка с нагрузкой длится дольше и утомляет сильнее, а значит, ещё сильнее нарушает допущение о равной мощности (см. ниже); собственный разброс пловца от попытки к попытке с длиной отрезка не уменьшается; а в 50-метровом бассейне чистый отрезок между стартом и поворотом составляет около 30 м. Без этих издержек случайную ошибку уменьшают точный хронометраж (электронные отметки или видео) и усреднение повторных попыток: при $n$ попытках случайная ошибка среднего уменьшается примерно в $\sqrt{n}$ раз. Иными словами, малое возмущение оберегает допущение о равенстве мощности, но делает результат уязвимым для ошибок хронометража; с большим возмущением всё наоборот.

Но этот же множитель многократно усиливает и малейшее нарушение самого допущения. Пусть попытка с нагрузкой выполнена с мощностью, составляющей долю $q$ от мощности свободной попытки, а коэффициент $k$ не изменился. Тогда при $r = v_2/v_1$ формула даёт $D \cdot (q - r^3)/(1 - r^3)$ вместо истинного $D$, то есть относительную ошибку около $-(1 - q)/(3\delta)$. Если в попытке с нагрузкой мощность всего на 1 % ниже, сопротивление окажется заниженным на 7 % при снижении скорости на 5 % и лишь на 2 % при снижении на 18 %. Выбирая малое возмущение, чтобы уберечь допущение о равенстве мощности, исследователь тем самым многократно увеличивает цену любого оставшегося его нарушения. Опубликованный анализ неопределённостей для вспомогательной буксировки на 5–9 % быстрее свободной скорости подтверждает этот порядок величин: разница мощности в 7.5 % между двумя условиями привела бы «примерно к 30 % ошибки в рассчитанном сопротивлении» (Hazrati et al., 2018, с. 7), что больше вклада любой из измеряемых величин (5–6 % от свободной скорости и скорости буксировки, 2–3 % от силы на поясе); при таких изменениях скорости формула выше как раз и даёт усиление в 4–7 раз.

Из этого анализа вытекают три практических следствия.

1. В модели с независимыми ошибками и одной парой попыток неопределённость сопротивления около 5 % при снижении скорости на 5 % требует относительной стандартной неопределённости каждой скорости примерно 0.2 %. Бюджет погрешности конкретного протокола должен учитывать ещё силу, корреляции и повторные попытки, а точность хронометража нужно указывать явно.
2. Рекомендации Gonjo и Колмогорова (Gonjo & Olstad, 2022; Колмогоров и др., 2021) отвечают на два разных вопроса. Gonjo добивался наилучшей воспроизводимости теста, а Колмогоров выбрал малую нагрузку, чтобы двигательная задача оставалась как можно ближе к свободному плаванию; это должно оберегать допущение о равенстве мощности, хотя само по себе его не доказывает. Без очень точного измерения скорости метод не может дать и то и другое сразу.
3. Стенд с одной попыткой (Колмогоров, 2023) уменьшает разброс между попытками, а перестановка отрезков с нагрузкой и без неё дала в его выборке практически одинаковые средние оценки (106.9 и 107.0 Н). Однако мощность независимо не измеряли, поэтому такое совпадение ещё не доказывает, что мощность на протяжении 50 м была постоянной, и не исключает общего для обоих вариантов смещения: в обоих пловец буксирует одно и то же тело в рамках одной и той же модели равной мощности, а влияние нагрузки на гребок в статье оценено только моделированием.

Как эта дилемма выглядит на практике, наглядно показывает одно исследование брассистов. Alves et al. (2024) хронометрировали вручную отрезок 13 м внутри 25-метровой попытки и при этом ссылаются на 5.4 % Колмогорова (2023), полученные на элитных кролистах при снижении скорости на 4.4–5.7 % и автоматическом хронометраже. Между тем их 15 пловцов в возрасте от 12 до 26 лет имели от 250 до 559 очков FINA, а снижение скорости в их таблице 2 составляет от 3.2 до 15.7 %. Три самых больших изменения сопротивления у отдельного пловца при смене режима дыхания, 85, 52 и 50 Н, приходятся на попытки, где скорость снизилась меньше чем на 4.5 %; а при таком снижении ошибка всего в 0.01 м/с в любой из двух скоростей (около 0.1 с на 13 м) меняет сопротивление на пятую или даже третью часть.

Практический совет тренеру короток. Используйте методы возмущения, когда нужно одно сводное число при максимальной скорости в любом способе плавания; вместе с результатом обязательно указывайте снижение скорости и точность хронометража; делайте несколько повторных попыток; сравнивайте только результаты одного и того же пловца по строго одному и тому же протоколу; а изменение оценивайте не по разбросу внутри одного теста, а по 95-процентному порогу для разности двух тестов, который составляет примерно 2.8 типичной ошибки одного теста (стандартная ошибка разности в $\sqrt{2}$ раз больше ошибки одного теста; подробнее в части 5). В части 4 речь пойдёт о методах, которые вовсе обходятся без сравнения двух разных попыток: пловца в них удерживают на привязи с датчиком силы.

## Статьи серии

1. [Что такое активное сопротивление и почему его приходится оценивать косвенно](/ru/blog/active-drag-1-what-it-is/)
2. [Упоры и маски: система MAD и энергетический метод](/ru/blog/active-drag-2-pads-and-masks/)
3. Две попытки, одна мощность: методы возмущения (эта статья)
4. [Остаточная тяга и гидродинамическая реакция](/ru/blog/active-drag-4-residual-thrust/)
5. [Почему методы расходятся и что из этого взять тренеру](/ru/blog/active-drag-5-why-they-disagree/)

## Литература

- Alcock, A., & Mason, B. (2007). Biomechanical analysis of active drag in swimming. In H.-J. Menzel & M. H. Chagas (Eds.), *Proceedings of the XXV International Symposium on Biomechanics in Sports* (pp. 212–215). https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/438
- Alves, M., Barbosa, T. M., & Vilas-Boas, J. P. (2024). Exploring the impact of breathing patterns on active drag in breaststroke swimming. *Journal of Biomechanics, 177*, Article 112390. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2024.112390
- Barbosa, T. M., Costa, M. J., Morais, J. E., Morouço, P., Moreira, M., Garrido, N. D., Marinho, D. A., & Silva, A. J. (2013). Characterization of speed fluctuation and drag force in young swimmers: A gender comparison. *Human Movement Science, 32*(6), 1214–1225. https://doi.org/10.1016/j.humov.2012.07.009
- Formosa, D. P., Mason, B. R., & Burkett, B. J. (2010). Measuring active drag within the different phases of front crawl swimming. In P.-L. Kjendlie, R. K. Stallman, & J. Cabri (Eds.), *Biomechanics and medicine in swimming XI* (pp. 82–84). Norwegian School of Sport Science.
- Formosa, D. P., Toussaint, H. M., Mason, B. R., & Burkett, B. (2012). Comparative analysis of active drag using the MAD system and an assisted towing method in front crawl swimming. *Journal of Applied Biomechanics, 28*(6), 746–750. https://doi.org/10.1123/jab.28.6.746
- Gonjo, T., & Olstad, B. H. (2022). Reliability of the active drag assessment using an isotonic resisted sprint protocol in human swimming. *Scientific Reports, 12*(1), Article 13085. https://doi.org/10.1038/s41598-022-17415-5
- Hazrati, P. (2016). *Active drag of front crawl swimmers: Estimation, measurement and analysis* [Doctoral dissertation, University of Sydney].
- Hazrati, P., Mason, B., & Sinclair, P. J. (2013). Reliability of estimating active drag using the assisted towing method (ATM) with fluctuating velocity. In T.-Y. Shiang, W.-H. Ho, P. C. Huang, & C.-L. Tsai (Eds.), *Proceedings of the 31st International Conference on Biomechanics in Sports* (pp. 252–255). International Society of Biomechanics in Sports. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/5560
- Hazrati, P., Mason, B., & Sinclair, P. J. (2014). Validity of estimating active drag using the both assisted and resisted techniques with fluctuating velocity. In K. Sato, W. A. Sands, & S. Mizuguchi (Eds.), *Proceedings of the 32nd International Conference of Biomechanics in Sports* (pp. 105–108). International Society of Biomechanics in Sports. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/6031
- Hazrati, P., Mason, B. R., Sinclair, P. J., & Sacilotto, G. (2014). Development of a new resisted technique in active drag estimation. In B. Mason (Ed.), *Proceedings of the XIIth International Symposium on Biomechanics and Medicine in Swimming* (pp. 136–141). Australian Institute of Sport.
- Hazrati, P., Sinclair, P. J., Ferdinands, R. E., & Mason, B. R. (2016). Reliability of estimating active drag in swimming using the assisted towing method with fluctuating speed. *Sports Biomechanics, 15*(3), 283–294. https://doi.org/10.1080/14763141.2016.1161064
- Hazrati, P., Sinclair, P. J., Mason, B. R., & Spratford, W. (2015). Comparison between velocity profiles of the assisted towing method and free swim velocity. In F. Colloud, M. Domalain, & T. Monnet (Eds.), *Proceedings of the 33rd International Conference on Biomechanics in Sports* (pp. 600–603). International Society of Biomechanics in Sports. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/6468
- Hazrati, P., Sinclair, P. J., Spratford, W., Ferdinands, R. E., & Mason, B. R. (2018). Contribution of uncertainty in estimation of active drag using assisted towing method in front crawl swimming. *Journal of Sports Sciences, 36*(1), 7–13. https://doi.org/10.1080/02640414.2016.1276295
- Kolmogorov, S. (2023). Development of the technology to measure active drag of swimmers by the method of small perturbations. *Journal of Biomechanics, 149*, Article 111486. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2023.111486
- Kolmogorov, S., Vorontsov, A., & Vilas-Boas, J. P. (2021). Metabolic power, active drag, mechanical and propelling efficiency of elite swimmers at 100 meter events in different competitive swimming techniques. *Applied Sciences, 11*(18), Article 8511. https://doi.org/10.3390/app11188511
- Kolmogorov, S. V., & Duplishcheva, O. A. (1992). Active drag, useful mechanical power output and hydrodynamic force coefficient in different swimming strokes at maximal velocity. *Journal of Biomechanics, 25*(3), 311–318. https://doi.org/10.1016/0021-9290(92)90028-Y
- Kolmogorov, S. V., Rumyantseva, O. A., Gordon, B. J., & Cappaert, J. M. (1997). Hydrodynamic characteristics of competitive swimmers of different genders and performance levels. *Journal of Applied Biomechanics, 13*(1), 88–97. https://doi.org/10.1123/jab.13.1.88
- Marinho, D. A., Barbosa, T. M., Costa, M. J., Figueiredo, C., Reis, V. M., Silva, A. J., & Marques, M. C. (2010). Can 8-weeks of training affect active drag in young swimmers? *Journal of Sports Science and Medicine, 9*(1), 71–78. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3737960/
- Mason, B., Kolmogorov, S., Wilson, B., Toussaint, H., Sinclair, P., Schreven, S., Sacilotto, G., Dominguez, R., & Hazrati, P. (2013). Comparison between active drag values estimated using both the velocity perturbation method and the A.I.S. assisted towing method. In T.-Y. Shiang, W.-H. Ho, P. C. Huang, & C.-L. Tsai (Eds.), *Proceedings of the 31st International Conference on Biomechanics in Sports*. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/5559
- Mason, B., Sacilotto, G., & Dingley, A. (2012). Computation of a swimmer's propulsive force profile from active drag parameters with fluctuating velocity in assisted towing. In E. J. Bradshaw, A. Burnett, & P. A. Hume (Eds.), *Proceedings of the 30th Annual Conference of Biomechanics in Sports* (pp. 244–248). International Society of Biomechanics in Sports. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/5274
- Mason, B., Sacilotto, G., & Menzies, T. (2011). Estimation of active drag using an assisted tow of higher than max swim velocity that allows fluctuating velocity & varying tow force. *Portuguese Journal of Sport Sciences, 11*(Suppl. 2), 327–330. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/4839
- Mason, B., Toussaint, H., Kolmogorov, S., Wilson, B., Sinclair, P., Schreven, S., Sacilotto, G., Hazrati, P., & Dominguez, R. (2013). Recommendations arising from a workshop of experts to make the A.I.S. ATM active drag assessment system more reliable and accurate. In T.-Y. Shiang, W.-H. Ho, P. C. Huang, & C.-L. Tsai (Eds.), *Proceedings of the 31st International Conference on Biomechanics in Sports*. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/5557
- Mason, B. R., Sacilotto, G. B., Hazrati, P., & Franco, R. (2014). Three different calculations to compute a swimmer's instantaneous active drag profile and variations in the parameter values that arise as a consequence. In B. Mason (Ed.), *Proceedings of the XIIth International Symposium for Biomechanics and Medicine in Swimming* (pp. 168–174). Australian Institute of Sport.
- Morais, J. E., Barbosa, T. M., Garrido, N. D., Cirilo-Sousa, M. S., Silva, A. J., & Marinho, D. A. (2023). Agreement between different methods to measure the active drag coefficient in front-crawl swimming. *Journal of Human Kinetics, 86*, 41–49. https://doi.org/10.5114/jhk/159605
- Toussaint, H. M., Roos, P. E., & Kolmogorov, S. (2004). The determination of drag in front crawl swimming. *Journal of Biomechanics, 37*(11), 1655–1663. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2004.02.020
- van der Vaart, A. J. M., Savelberg, H. H. C. M., de Groot, G., Hollander, A. P., Toussaint, H. M., & van Ingen Schenau, G. J. (1987). An estimation of drag in front crawl swimming. *Journal of Biomechanics, 20*(5), 543–546. https://doi.org/10.1016/0021-9290(87)90254-5
- Wang, X.-F., Wang, L.-Z., Yan, W.-X., Li, D.-J., & Shen, X. (2007). A new device for estimating active drag in swimming at maximal velocity. *Journal of Sports Sciences, 25*(4), 375–379. https://doi.org/10.1080/02640410600812021
- Webb, A., Banks, J., Phillips, C., Hudson, D., Taunton, D., & Turnock, S. (2011). Prediction of passive and active drag in swimming. *Procedia Engineering, 13*, 133–140. https://doi.org/10.1016/j.proeng.2011.05.063
- Колмогоров, С. В. (2008). Кинематические и динамические характеристики установившегося нестационарного движения элитных пловцов. *Российский журнал биомеханики, 12*(4), 59–74.
- Колмогоров, С. В. (2025). *Энергетическое обеспечение, гидромеханика и биомеханика спортивного плавания: от исследований к тренерской практике и… обратно*. Editus.