# Активное сопротивление, часть 1: что это такое и почему его приходится оценивать косвенно

> Пассивное сопротивление можно уравновесить грузом, а активное приходится определять вычитанием. Первая из пяти статей о том, как измеряют сопротивление воды в плавании.

- Источник: https://swimas.co.nz/ru/blog/active-drag-1-what-it-is/
- Простым языком (ELI5): https://swimas.co.nz/ru/blog/active-drag-1-what-it-is/eli5/
- По-английски: https://swimas.co.nz/blog/active-drag-1-what-it-is/
- Автор: В. Карпов, swimas (Swimming Art & Science), Новая Зеландия
- Опубликовано: 18 окт 2026
- Темы: Активное сопротивление, Биомеханика; стили: FR, BK, BR, FL

Насколько сильно вода тормозит пловца? Ответить на этот вопрос непросто: вода служит пловцу одновременно опорой для продвижения вперёд и препятствием. Когда пловца буксируют в неизменном положении «стрелочки», сопротивление легко определить по силе, которая нужна, чтобы поддерживать постоянную скорость. Во время плавания форма тела непрерывно меняется, его части движутся в разных направлениях, а тяга и сопротивление действуют одновременно. Само движение пловца отражает лишь их результирующее действие. При постоянной средней скорости эти противоположные силы уравновешивают друг друга за полный цикл движений, и величина каждой по отдельности остаётся неизвестной. Поэтому любая оценка активного сопротивления неизбежно опирается на допущения о том, как отделить тягу от сопротивления. Разные методы исходят из разных допущений и для одного и того же пловца могут давать разительно отличающиеся оценки. Отсюда вполне практический вопрос тренера: если тест показал снижение сопротивления, действительно ли сопротивление пловца уменьшилось или изменилось что-то в самой процедуре измерения?

Сопротивление воды пловцу измеряют со времён первых буксировочных опытов начала 1900-х годов, сопротивление плывущего тела пытаются оценить с 1970-х, однако вопрос всё ещё далёк от решения. Разброс данных велик: на одних и тех же пловцах два разных метода давали значения, различавшиеся почти вдвое, а в разных опубликованных исследованиях активное сопротивление лежит в пределах от величины, близкой к пассивному сопротивлению, до трёхкратной. В этой статье, первой из пяти, разберём, почему с сопротивлением плывущего тела задача совсем иная и куда более сложная, чем с сопротивлением тела на буксире, какова физическая природа сопротивления тела человека в воде и как исследования пришли к нынешнему положению дел. В следующих статьях по очереди рассмотрим основные группы методов измерения (части 2–4), а затем выясним, согласуются ли они между собой и что из этого может взять на вооружение тренер (часть 5). Эта серия написана как нарративный обзор избранных работ, а не как систематический поиск: мои собственные пересчёты сделаны по опубликованным таблицам, а если в тексте сказано, что каких-то данных не найдено, это относится только к прочитанным мной источникам.

## Пассивное сопротивление: корректно поставленная задача

Если буксировать пловца, который держит неизменное положение «стрелочки», сила сопротивления оказывается строго определённой физической величиной. Она зависит от скорости, позы, глубины, размеров и формы тела, а измерить её можно грузом через блок (на установке гравитационного типа), динамометром или в гидроканале. Повторяемость таких измерений можно проверить, хотя в литературе встречаются показатели двух разных видов. У пловца, удерживаемого на привязи в гидроканале, корреляция между тремя повторами в одной сессии составила 0.98 (Roberts et al., 2003): это показывает, что повторы менялись согласованно, но не говорит, насколько они расходились. Когда же пловцов буксировали в бассейне на глубине 0.6 м, коэффициент вариации по пяти повторам, как раз отражающий этот разброс, не превышал 15.1 % (Cortesi & Gatta, 2015). Влияние позы тоже вполне измеримо: от положения головы пассивное сопротивление меняется на 4–11 %, а с вытянутыми вперёд руками оно примерно на 18 % ниже, чем с руками вдоль туловища (Cortesi & Gatta, 2015).

Беда, однако, в том, что очевидной связи между пассивным и активным сопротивлением пловца нет (Wilson & Thorp, 2003). В крупнейшей выборке по этой теме, 797 пловцов (Колмогоров и др., 1997), коэффициент гидродинамической силы при плавании вообще не коррелировал с тем же коэффициентом при буксировке ($r = -0.09$). Это вовсе не значит, что размеры и форма тела не играют роли; речь лишь о том, что эти два коэффициента не взаимозаменяемы. Какое бы сопротивление ни испытывало плывущее тело, оно не совпадает с сопротивлением того же тела, застывшего в одной позе.

## Активное сопротивление: величина, определяемая вычитанием

**Рисунок 1.** Пассивное сопротивление испытывает буксируемое тело. Активное сопротивление определяют вычитанием: тяга и сопротивление действуют на одно и то же тело, и по его движению видно лишь их суммарное действие.

Две панели рядом. Слева пассивное сопротивление: буксируемый или скользящий пловец в неизменном положении «стрелочки»; одна сила (буксировки) направлена вперёд, другая (сопротивления) назад. Неизвестная сила одна, и её измеряют напрямую: подвесьте груз и замерьте установившуюся скорость; результат воспроизводим, r = 0.98 между повторами (Roberts 2003). Справа активное сопротивление: плывущий пловец, у которого руки и ноги и продвигают тело, и тормозят его; показаны стрелки тяги и сопротивления, и при постоянной скорости их сумма за цикл равна нулю. Две неизвестные силы на одном теле, а по его движению видна только их сумма; каждый метод опирается на свой набор допущений, позволяющих эту сумму разделить, отсюда и расхождения.


В отличие от тела на буксире, тело человека, который плывёт сам, не сохраняет жёсткой формы. Руки и ноги, которые создают тягу, создают и сопротивление; туловище покачивается вверх-вниз и поворачивается вокруг продольной оси; скорость центра масс в каждом цикле то растёт, то падает. По измерениям Колмогорова у девяти пловцов из первой десятки мира разница между наибольшей и наименьшей скоростью за цикл составила около 8–9 % средней скорости в кроле на груди, около 10 % в кроле на спине, 30–35 % в дельфине и около половины средней скорости в брассе (Колмогоров, 2008). Эти колебания скорости прямо отражают работу результирующей силы: в каждый момент тяга и сопротивление действуют одновременно, на одних и тех же движущихся руках и ногах, и ни один прибор не измеряет их по отдельности. Ближе всего к этому подходят измерения у отдельных частей тела: датчики давления на кистях и съёмка течения вокруг рук и ног. Но и они показывают лишь то, что происходит у этой части, а не силу, действующую на всё тело (подробнее ниже). Чтобы получить по ним сопротивление, приходится снова опираться на тот же баланс сил, что и в других методах: среднюю тягу одних кистей принимают за всю тягу и приравнивают к среднему сопротивлению (часть 4). Таким образом, «активное сопротивление» по определению оказывается тормозящей частью баланса сил, который можно разделить лишь с помощью допущений.

## Три вида сопротивления

Какой бы метод мы ни взяли, сопротивление, которое он пытается выделить, складывается из трёх видов гидродинамического сопротивления, действующих на любое тело, движущееся в воде.

**Сопротивление трения** возникает из-за вязкости воды: в тонком пограничном слое у поверхности тела вода увлекается телом, и касательные силы трения его тормозят. Оно зависит от площади смоченной поверхности, её шероховатости и режима течения в пограничном слое (ламинарного или турбулентного). С ростом скорости оно растёт чуть медленнее её квадрата, примерно как v<sup>1.8</sup> при характерных для пловца числах Рейнольдса. Такой показатель даёт формула трения ITTC-1957, эмпирическая формула для гладкой пластины, принятая в расчётах сопротивления судов; к пловцу её применили Webb et al. (2011).

Если уподобить тело такой пластине, можно оценить, на каком протяжении пограничный слой остаётся ламинарным. Вдоль гладкой пластины поток остаётся ламинарным до числа Рейнольдса около полумиллиона, считая от передней кромки. У пловца это лишь первые 0.3 м длины тела при 1.5 м/с и 0.2 м при 2 м/с. Иными словами, ламинарный слой покрывал бы лишь около 10 % поверхности тела, а там, где слой становится турбулентным, касательное напряжение на коже резко возрастает (Polidori et al., 2006). На реальном теле переход может сместиться: кожа человека не идеально гладкая пластина, вода вокруг пловца не бывает совершенно спокойной, а изгибы тела то разгоняют поток, то тормозят его. Подбирая модель сопротивления к данным буксировки, Mollendorf et al. (2004) заключили, что переход начинается уже в нескольких сантиметрах от передней кромки (в их опытах это была голова) и течение остаётся переходным на большей части тела. Впрочем, эти цифры дают теоретическую оценку, а не результат прямых измерений на пловцах.

**Рисунок 2.** Пограничный слой плоской пластины длиной со скользящего пловца: учебная модель (по Polidori et al., 2006), нарисованная вдоль тела. От кончиков пальцев слой ламинарный и тонкий; начиная с числа Рейнольдса 5·105, то есть примерно с 0.28 м от кончиков пальцев при 1.5 м/с и с 0.21 м при 2 м/с, он в зоне перехода, показанной до 106, становится турбулентным и утолщается, а касательное напряжение на коже круто возрастает. На пловце переход не измерен, а изгибы тела меняют обтекание: поток отрывается у шеи и на пояснице (рисунок 3). Толщина слоя на рисунке увеличена в четыре раза.

Анимированный вид сбоку: пловец скользит под водой в стрелочке, вода набегает слева; от кончиков пальцев до носков длина тела 2.74 м. Над телом и под ним пограничный слой показан голубой полосой, в четыре раза толще настоящего. Точки движутся вместе с водой, каждая на своём расстоянии от кожи, тоже увеличенном в четыре раза, и с той скоростью, которая у воды в этом месте; цвет точки меняется от охры там, где вода медленная, через бирюзовый до синего там, где она идёт со скоростью потока; вода на рисунке движется примерно вдвое медленнее, чем на самом деле. Над кистями слой ламинарный и очень тонкий, и точки у самой кожи почти стоят. Начиная с числа Рейнольдса 5·10<sup>5</sup> он в зоне перехода, показанной до 10<sup>6</sup>, становится турбулентным и утолщается к ногам, где его толщина около 4.5 см; точки в нём блуждают поперёк слоя, у самой кожи идут быстрее, чем над кистями, а точки из свободной воды попадают в утолщающийся слой и замедляются. Скорость растёт с 1.5 до 2.0 м/с, держится и снова падает, а место перехода смещается с 0.28 до 0.21 м от кончиков пальцев и обратно: ламинарный участок занимает 10 % длины тела при 1.5 м/с и 8 % при 2.0 м/с. Под телом в том же масштабе показан график касательного напряжения на коже вдоль тела, от 0 до 12 паскалей. На ламинарном участке оно падает от больших значений у кончиков пальцев примерно до 1 Па при 1.5 м/с (около 2 Па при 2.0 м/с); в зоне перехода, затенённой на графике, растёт примерно до 4 Па (около 7.5 Па), а затем медленно убывает примерно до 3 Па (около 5 Па) у носков. Кривые для 1.5 и 2.0 м/с показаны пунктиром, а кривая для текущей скорости проведена поверх них. Формулы для пластины в воде при 27 °C, то есть учебная модель, а не измерение на пловце: толщина ламинарного слоя по интегральному решению Polidori et al., касательное напряжение в нём по Блазиусу, турбулентный слой по степенному закону одной седьмой, а в зоне перехода они плавно сменяют друг друга. Под рисунком подписаны вода, пограничный слой и цвета точек, от неподвижной воды до скорости потока.


Трение у самостоятельно плывущего человека напрямую не измерялось: ни в одном из рассмотренных здесь исследований свободного плавания его не удалось инструментально отделить от сопротивления формы. Поэтому его оценивают косвенно, четырьмя способами. Первый опирается на формулу для пластины, о которой шла речь выше: по ней Webb et al. (2011) получили долю трения 8 % пассивного сопротивления одного пловца при 1.55 м/с. Второй состоит в расчёте всего поля течения вокруг трёхмерной модели пловца: при скольжении на глубине 0.9 м на трение пришлось 8 % сопротивления с руками вдоль туловища и 13 % с руками, вытянутыми вперёд, причём сама сила трения в обоих положениях оказалась почти одинаковой (Marinho et al., 2009). Другие расчётные модели подводного скольжения отводят трению 16–27 %, в зависимости от модели (Bixler et al., 2007; Zaïdi et al., 2010). Третий способ: изменить свойства поверхности и измерить разницу; так проверяли костюмы и бритьё (об этом ниже). Четвёртый опирается на теорию пограничного слоя: Polidori et al. (2006) представили пловца плоской поверхностью с температурой кожи 33 °C и рассчитали касательное напряжение на ней в воде бассейна от 20 до 30 °C. У них вышло около 20–22 Н трения для полностью погружённого пловца при 2.8 м/с и около 5–6 Н при 2 м/с, когда в воде половина тела, то есть примерно 4–5 % полного сопротивления. Более тёплая вода, прогревая пограничный слой и снижая его вязкость, уменьшала трение на высоких скоростях не больше чем на 1.5 %, примерно на 0.4 Н при переходе от 20 к 30 °C. Большинство этих оценок сходятся в том, что трение составляет наименьшую из трёх частей: Wilson (2018) отводит поверхностному сопротивлению менее 5 % полного, хотя Pendergast et al. (2005) оценивали его вклад в четверть.

Как ни мала доля трения, именно его стараются уменьшить бритьём и специальными костюмами, однако данные о том, насколько это удаётся, противоречивы. Когда девять пловцов университетской команды побрили руки, ноги и туловище, 366 м брассом примерно на 90 % усилия потребовали от них на 9 % меньше кислорода и оставили в крови на 20 % меньше лактата, а шаг вырос на 12 %. При плавании на привязи, где тело не продвигается сквозь воду, бритьё ничего не изменило, зато в скольжении после отталкивания побритые пловцы медленнее теряли скорость (Sharp & Costill, 1989).

Костюмы, ткань которых имитирует акулью кожу, рассчитаны именно на то, чтобы уменьшить трение. На чешуе быстрых акул есть тонкие рёбрышки вдоль потока, риблеты, и в лаборатории они действительно работают: в опытах в воде и в воздухе, как подытоживают Koeltzsch et al. (2002), риблеты снижали сопротивление трения по сравнению с гладкой поверхностью примерно на величину до 10 %. Попытка точнее подражать акуле успеха не принесла: в масляном канале ряды плавничков в шахматном порядке, по образцу акульей чешуи, снижали турбулентное касательное напряжение на опытной пластине не больше чем на 7.3 % по сравнению с гладкой пластиной, а простые прямые рёбрышки в тех же опытах давали 9 % (Bechert et al., 2000). В бассейне же выигрыш почти исчез. На системе MAD 13 пловцов, плывя только на руках, с колобашкой, в костюме FastSkin, закрывающем туловище и ноги, испытывали лишь на 2 % меньшее активное сопротивление. Разница статистически незначима, тогда как производитель по испытаниям пассивного сопротивления заявлял 7.5 % (Toussaint et al., 2002). Поскольку трение составляет столь малую часть активного сопротивления, авторы заключили, что «возможное влияние тканей, снижающих трение, на полное сопротивление может быть лишь небольшим» (с. 8). Roberts et al. (2003) проверили тот же костюм двумя способами. При буксировке в гидроканале пассивное сопротивление пловцов в нём было таким же, как в плавках, при скоростях до 2.5 м/с. Затем девять пловцов проплыли по три отрезка 183 м вольным стилем с умеренным, повышенным и высоким усилием по собственному ощущению. В костюме они плыли в среднем на 2 % быстрее, но потребляли на 4 % больше кислорода и заканчивали с лактатом на 10 % выше, а при одинаковой скорости, 1.4 и 1.6 м/с, разницы между костюмами не было. Так что плыть костюм не облегчал: пловцы сами выбирали более высокую скорость и платили за неё, что авторы объяснили ожиданиями самих пловцов. А у манекена, которого буксировали в гидроканале, костюмы с пониженным сопротивлением уменьшали поверхностное сопротивление лишь примерно на 2 % (Wilson, 2018).

Именно с трением связана одна из самых долгих загадок биологии. В 1936 году Грей (цит. по Fish, 2006) рассчитал дельфина как жёсткое тело с турбулентным пограничным слоем, получил, что на скорости 10.1 м/с ему нужно больше мощности, чем могут дать его мышцы, и предположил, что дельфин сохраняет обтекание ламинарным благодаря собственному движению, которое разгоняет воду вдоль задней половины тела. «Парадокс Грея» на шестьдесят лет определил направление исследований гидродинамики дельфинов, в том числе их кожи, хотя сам парадокс опирался на ненадёжные цифры, и слабых мест в нём два, независимых друг от друга. Во-первых, скорость 10.1 м/с взяли из наблюдения за дельфином, который плыл рядом с кораблём: возможно, он скользил на носовой волне корабля, и тогда часть работы за него делала волна, а сам он такой мощности не развивал. Во-вторых, даже если дельфин действительно плыл так быстро сам, такую скорость он держит недолго, как спринтер, а мощность его мышц оценили по мышцам гребца при долгой работе; на коротком отрезке мышцы способны развить заметно большую мощность (Fish, 2006).

**Сопротивление формы**, как ясно из названия, зависит от формы тела; его называют также сопротивлением давления. В самой передней точке тела набегающая вода останавливается, и давление здесь наибольшее. Затем вода разгоняется, обтекая тело, и на его боках давление становится ниже, чем в невозмущённом потоке; за самой широкой частью тела вода должна снова замедлиться, чтобы заполнить освобождаемое пространство, и давление снова растёт. Тонкий пристенный слой воды, уже заторможенный трением о кожу, против этого растущего давления не справляется: он отрывается от поверхности, и за линией отрыва тело тянет за собой след, в котором давление остаётся пониженным. Повышенное давление спереди и разрежение сзади складываются в силу, которая тянет тело назад. Оторвавшиеся слои сворачиваются в вихри; за телом тупой формы они срываются поочерёдно то с одной, то с другой стороны и уносятся потоком, как схематично показано на рисунке 3. Так что и сопротивление формы обязано своим существованием вязкости: в идеальной жидкости без неё поток плавно смыкался бы за телом, движущимся глубоко под водой, и сопротивления не было бы вовсе (парадокс Д’Аламбера).

Величина сопротивления формы зависит не столько от размеров тела, сколько от его формы, и прежде всего от формы задней части: от того, где отрывается поток и насколько широк след. При одинаковой площади миделя коэффициент сопротивления у плоской пластины, поставленной поперёк потока, равен 1.28, у шара доходит до 0.5, а у обтекаемого крылового профиля составляет всего 0.045 (NASA Glenn Research Center, 2025). Это значения для простых тел, а не для тела пловца, но они наглядно показывают, как много значит форма. То же легко почувствовать, высунув руку из окна машины: ладонь, развёрнутую поперёк ветра, с силой отбрасывает назад, а поставленная ребром она легко режет воздух. Поскольку разности давлений пропорциональны скоростному напору $\tfrac{1}{2}\rho v^2$, сопротивление формы растёт примерно пропорционально квадрату скорости, пока место отрыва потока не меняется.

Для пловца именно в этом смысл «стрелочки». Кисти, сложенные одна на другую, и голова, зажатая между руками, подставляют набегающему потоку один узкий передний край вместо отдельных преград: головы, двух кистей и двух плеч. А вытянутое в струну тело с сомкнутыми ногами и оттянутыми носками позволяет потоку пройти вдоль него до самых стоп, не срываясь раньше времени у таза, за согнутыми коленями или за недостаточно оттянутыми стопами. Но даже образцовая «стрелочка» не удерживает безотрывное обтекание по всей длине тела. В расчёте обтекания скользящего пловца поток отрывался за затылком, под подбородком и в прогибе поясницы (Sato & Hino, 2010), а нити на костюмах пловцов сборной Франции при скольжении со скоростью 2.2 м/с показали отрыв на спине и на ягодицах (Zaïdi et al., 2010). В том же расчёте сопротивление давления оказалось примерно в шесть раз больше трения, тогда как у корпуса судна сопротивление давления обычно не превышает 30 % сопротивления трения (Sato & Hino, 2010). Поднятая голова, провисший таз или наклонённое к потоку туловище подставляют воде более широкий и тупой фронт и оставляют за собой более широкий след: при плавании туловище наклонено к потоку примерно на 10–12°, а при буксировке со скоростью больше 1 м/с на 4–6° (Zamparo et al., 2009); измеренное влияние положения головы и рук на пассивное сопротивление приведено выше. Впрочем, та же сила работает и на пловца: ладонь, поставленная к потоку под прямым углом при гребке, опирается на воду во многом именно за счёт сопротивления формы.

Где именно оторвётся поток, зависит и от состояния пограничного слоя, и здесь у турбулентного слоя обнаруживается важное достоинство: он дольше держится за поверхность тела, поэтому след, а с ним и сопротивление формы, становятся меньше. На гладком шаре ламинарный слой отрывался примерно в 82 градусах от передней точки; когда же при числах Рейнольдса выше примерно 3·10<sup>5</sup> слой успевал стать турбулентным до отрыва, он держался на поверхности примерно до 120 градусов, и коэффициент сопротивления падал примерно с 0.5 до величины меньше 0.1 (Achenbach, 1972). Лунки на мяче для гольфа как раз и нужны, чтобы турбулизировать слой и вызвать этот переход уже на тех скоростях, с которыми мяч летит после удара (Bearman & Harvey, 1976). У пловца этот эффект выражен слабее и не столь однозначно. В опытовом бассейне голова пловца у самой поверхности показала такое падение сопротивления, но там оно было связано с тем, что носовая волна переходит в гладкую водяную пелену; под водой коэффициент сопротивления головы снижался всего на 6 %, а у манекена целиком снижения не было вовсе, хотя в шапочке, над которой обтекание уже изменилось, манекен при 1.7 и 1.8 м/с испытывал примерно на 7 % меньшее сопротивление, чем в шапочке, над которой оно ещё не изменилось (James, 2016). При буксировке в костюмах, закрывающих тело от плеч до колен или до щиколоток, сопротивление при 2.2 м/с было примерно на 10 и 5 % меньше, чем в обычных плавках. Когда измеренное сопротивление разложили на составляющие подбором модели, трение оказалось выше, а сопротивление давления и волновое ниже. Mollendorf et al. (2004) объяснили это тем, что костюм турбулизирует пограничный слой и поток дольше остаётся прижатым к телу, а производители купальников иногда добиваются этого нарочно (Polidori et al., 2006). Прямых измерений самого пограничного слоя на пловце в рассмотренных источниках нет.

**Рисунок 3.** Сопротивление формы. Вверху три тела с одинаковой площадью миделя: перед каждым вода набегает на тело и давление повышается, а за пластиной и шаром поток срывается и образует след из вихрей с пониженным давлением; за обтекаемым профилем он снова смыкается. Коэффициенты сопротивления приведены по данным NASA Glenn Research Center (2025). Внизу скользящий пловец. В стрелочке, нарисованной по расчёту обтекания и по нитям на костюмах пловцов (Sato & Hino, 2010; Zaïdi et al., 2010), давление выше там, где вода набегает на тело, и в его впадинах и ниже над выпуклостями, а поток всё равно отрывается у шеи, на пояснице и за ягодицами. С поднятой головой, провисшим тазом и согнутыми коленями фронт шире, а след шире и турбулентен; это положение показано схематично.

Анимированный рисунок из двух частей. Вода набегает слева; она показана линиями тока из точек, которые движутся вместе с ней. Вверху три тела с одинаковой высотой миделя в одном и том же потоке; у каждого указан коэффициент сопротивления при одной и той же площади миделя и показана полоса такой же длины: у пластины поперёк потока 1.28, у шара до 0.5, у обтекаемого профиля 0.045. Затенённое пятно перед каждым телом отмечает повышенное давление там, где вода набегает на тело (+). За пластиной поток срывается с её краёв и оставляет след шире самой пластины; за шаром он срывается чуть раньше самого широкого места и оставляет след примерно в ширину шара. В обоих следах, затенённых, с пониженным давлением (−), вихри срываются поочерёдно то с одной, то с другой стороны и уплывают. За обтекаемым профилем линии тока снова смыкаются, и след остаётся тонкой линией. Внизу тот же пловец, скользящий в двух положениях, одно под другим, с условными обозначениями: охристая линия показывает давление выше, чем в открытой воде, синяя линия давление ниже, затенённый карман с завитком отрыв потока, а заливка замедленную воду. Стрелочка, в которой руки вытянуты, голова между ними, а туловище и ноги прямые, нарисована по расчёту обтекания скользящего пловца и по нитям на костюмах пловцов (Sato и Hino 2010; Zaïdi et al. 2010). Вода останавливается у кончиков пальцев и у темени. Вдоль спины давление понижено над затылком, повышено на загривке, понижено над лопатками, повышено в прогибе поясницы, понижено над ягодицами, повышено под коленями, понижено над икрами и повышено у пяток; снизу оно повышено на верхней части груди и понижено над самой широкой частью грудной клетки. Небольшие зоны отрыва, нарисованные крупнее, чем они есть, находятся за затылком, под подбородком и над поясницей. От ягодиц замедленная вода обволакивает ноги, у голеней её слой около 0.23 м в высоту, и тянется за стопами, причём вихри поочерёдно не срываются. С поднятой головой, провисшим тазом и согнутыми коленями тело встречает воду более широким фронтом, за головой образуется более крупная зона отрыва, поток срывается у таза, и за ногами тянется более широкий турбулентный след: его край рваный и подвижный, несколько крупных вихрей в неровные моменты сворачиваются у ягодиц и у колен, вращаясь в разные стороны, и вниз по течению растягиваются и распадаются среди множества мелких, без поочерёдного срыва; это положение показано схематично, потому что ни один опубликованный расчёт или опыт его обтекания не показывает.


**Волновое сопротивление** возникает на свободной поверхности: тело, движущееся вдоль неё, порождает волны, волны уносят энергию, и сила, которая тратится на их образование, и есть волновое сопротивление. Именно эта составляющая отличает плавание, скажем, от велоспорта или полёта: пловец, как судно, движется по границе воды и воздуха. Но у судна жёсткий корпус, которому можно придать выгодную гидродинамическую форму, и отдельный двигатель. У пловца же тело служит и корпусом, и двигателем: чтобы вообще продвигаться вперёд, оно должно постоянно менять форму, раз за разом жертвуя обтекаемостью.

Голова толкает перед собой воду и поднимает носовую волну; за ней поверхность опускается во впадину и снова поднимается к следующему гребню, и так вдоль всего тела и дальше за ним, как за идущей лодкой. Для волн на глубокой воде, которые идут вровень с пловцом, длина волны $\lambda$ однозначно задаётся скоростью $v$: $\lambda = 2\pi v^2/g$, где $g$ обозначает ускорение свободного падения, 9.81 м/с². Это около 1.1 м при 1.3 м/с, 1.9 м при 1.72 м/с и 2.5 м при 2 м/с. На малой скорости вдоль тела укладывается несколько коротких волн. С ростом скорости они удлиняются, и на так называемой «скорости корпуса» (hull speed) волна становится длиной с само тело: пловец оказывается зажат во впадине между собственными носовым и кормовым гребнями, а чтобы плыть быстрее, ему приходится буквально карабкаться в гору, на свою носовую волну (Barbosa, 2018). Скорость корпуса равна $v = \sqrt{g L/2\pi}$, где $L$ обозначает длину тела; это соответствует числу Фруда $\mathrm{Fr} = v/\sqrt{g L}$, то есть отношению скорости к квадратному корню из произведения ускорения свободного падения на длину тела, около 0.4. Для пловца ростом 1.9 м это 1.72 м/с, поэтому у высоких пловцов скорость корпуса выше, а у растущих она растёт вместе с ними. Само понятие скорости корпуса остаётся удобным ориентиром, заимствованным у судостроителей: оно помогает понять, почему волновое сопротивление начинает круто расти, но не задаёт строгого предела скорости пловца.

Пловцы этот рубеж всё же преодолевают, но платят за это дорого. Элитные спринтеры-кролисты плывут при числе Фруда до 0.46 (Колмогоров, 2008); в финалах Олимпийских игр 2012 года в Лондоне призёры на 400 м вольным стилем плыли примерно со своей скоростью корпуса, а призёры на 50 м превышали её примерно на пятую часть (Barbosa, 2018). Поэтому волновое сопротивление и зависит от числа Фруда и в диапазоне скоростей плавания растёт быстрее квадрата скорости. Вместе с тем волны возникают только на поверхности, и с глубиной волновое сопротивление быстро убывает (цифры приведены ниже), а кроме того, его можно «разделить» с соседом. Пловец, плывущий вплотную за другим, движется в воде, которую лидер уже привёл в движение, и сам поднимает меньшие волны. Отчасти поэтому плыть «в ногах» так выгодно: в полуметре за лидером коэффициент сопротивления ведомого составляет около 56 % от лидерского, а в шести метрах около 84 % (Barbosa, 2018).

**Рисунок 4.** Скорость корпуса. Волна, которую пловец поднимает на поверхности, с ростом скорости удлиняется: λ = 2πv²/g, где λ обозначает длину волны, v скорость, а g ускорение свободного падения. На скорости корпуса она становится длиной с само тело (λ = L, где L обозначает длину тела; число Фруда около 0.40; для пловца ростом 1.9 м это 1.72 м/с), и пловец оказывается во впадине между собственными носовым и кормовым гребнями; чтобы плыть быстрее, ему приходится взбираться на носовую волну (по Barbosa, 2018). Элитные спринтеры-кролисты доходят до числа Фруда 0.46 (Колмогоров, 2008).

Анимация, вид сбоку: кролист ростом 1.90 м на поверхности и волна, которую он поднимает; высота волн преувеличена. Скорость растёт с 1.30 м/с (число Фруда 0.30) до 1.72 м/с и держится, затем до 1.99 м/с (0.46) и держится, а потом снова опускается до 1.72 м/с. Длина волны λ, отмеченная над водой от гребня до гребня, следует формуле λ = 2πv²/g, где v обозначает скорость, а g ускорение свободного падения: 1.08 м при 1.30 м/с, короче тела; 1.90 м при 1.72 м/с, ровно длина тела, отмеченная под пловцом: носовой гребень у головы, следующий гребень у стоп, впадина между ними («скорость корпуса: λ = L, пловец в собственной впадине»); 2.53 м при 1.99 м/с, длиннее тела, пловец слегка задирает нос («взбирается на собственную носовую волну»). Шкала числа Фруда v/√(gL), где L обозначает длину тела, от 0.30 до 0.50 отмечает скорость корпуса на 0.40 и элитных спринтеров-кролистов на 0.46; метка движется к текущему значению.


**Рисунок 5.** Три составляющие сопротивления в зависимости от скорости, схематично. Трение растёт чуть медленнее v² (примерно как v1.8), сопротивление формы примерно как v², а волновое сопротивление быстрее (примерно как v2.9 для пассивного манекена при скоростях ниже 2 м/с; Vennell et al., 2006). Доля волнового сопротивления на спринтерской скорости остаётся предметом споров.

Схематический график пассивного сопротивления: сопротивление в ньютонах (от 0 до 100) в зависимости от скорости плавания (от 0.8 до 2.2 метра в секунду). Три составляющие сложены одна над другой: внизу трение, над ним сопротивление формы (давления), сверху волновое сопротивление; суммарное сопротивление растёт со скоростью всё круче. Трение растёт примерно как скорость в степени 1.8, сопротивление формы примерно пропорционально её квадрату, а волновое сопротивление растёт ещё быстрее. В примечании приведены опубликованные оценки доли волнового сопротивления: от 20 % для кроля при 2.0 м/с (Pendergast 2005) до 60 % при пассивной буксировке (Vennell 2006; Webb 2011). Соотношение составляющих показано по Webb et al. 2011 для 1.55 м/с; сами величины даны для наглядности, а не получены измерением.


Единого мнения о том, сколько приходится на каждую составляющую при соревновательной скорости, нет.

- По оценке Pendergast et al. (2005), в кроле на груди при 2 м/с около 25 % сопротивления приходится на трение, 55 % на сопротивление формы и 20 % на волновое сопротивление.
- В опытах с пассивным манекеном в гидроканале (Vennell et al., 2006) полное сопротивление у поверхности до 2.4 раза превышало сопротивление того же тела при полном погружении; при 1.7 м/с на волновое сопротивление приходилось 50–60 % полного, а на глубине 0.5–0.7 м оно падало ниже 5 %.
- Webb et al. (2011) рассчитали пассивное сопротивление одного пловца так, как рассчитывают сопротивление судов: при 1.55 м/с на волны пришлось 59 %, на вихревой след 33 % и на трение 8 %.
- Wilson и Thorp (2003), разложив опубликованные кривые активного сопротивления на три слагаемых, получили для волновой доли 10–20 % при 1 м/с и 30–40 % при 1.9 м/с, а наибольшей частью у них оставалось сопротивление формы. Позже Wilson (2018) со ссылкой на эту работу и на Vennell et al. (2006) привёл для максимальной скорости 60–70 % на волны и 30–40 % на сопротивление формы, то есть ту долю, которую работа 2003 года отводила волнам.
- Измерения на пловцах в Австралийском институте спорта (Tor et al., 2015) показали, что на глубине 0.5 м полное сопротивление на 20 % ниже, а на глубине 1.0 м на 24 %; волновая составляющая при этом уменьшалась соответственно на 70 % и почти на 100 %. А по данным Dickson et al. (2020), погружение глубже 0.4 м уже не давало манекену при 2.5 м/с дополнительного выигрыша в волновом сопротивлении, а моделирование на глубине 0.4 м при 1.0 м/с показало, что продольные наклоны тела (отклонения по тангажу) увеличивают волновое сопротивление на 10–66 %.

Каковы бы ни были точные доли, из рассмотренных источников уверенно следуют два вывода. Первый: сопротивление растёт примерно пропорционально квадрату скорости, так что даже небольшая прибавка в скорости требует непропорционально большого прироста силы. Второй: волнообразование может сделать эту зависимость ещё круче. У Vennell et al. (2006) аппроксимация дала показатель степени 2.3 для манекена у поверхности против 2.0 для погружённого. Но подобранный показатель зависит и от положения тела, техники и диапазона скоростей: опубликованные показатели степени для пассивного сопротивления, которые собрал в своём обзоре Havriluk (2005), лежат в пределах от 1.66 до 2.42. Это окажется очень важным дальше, потому что почти все методы определения активного сопротивления по умолчанию принимают показатель степени равным ровно двум.

> **Отступление: Почему так мало животных плавает по поверхности**
>
> Двигаться по границе воды и воздуха настолько невыгодно, что животные, чья жизнь связана с плаванием, этого избегают. Рыбы, дельфины, тюлени и пингвины плавают в толще воды, а те из них, кто дышит воздухом, поднимаются к поверхности лишь затем, чтобы вдохнуть: волновое сопротивление перестаёт играть роль, когда тело уходит на глубину больше двух-трёх своих диаметров (Hertel, 1966, цит. по Fish, 2000). Быстрые дельфины и вовсе выпрыгивают из воды: начиная с некоторой скорости серия прыжков обходится им дешевле, чем плавание у самой поверхности (Au & Weihs, 1980).
>
> Немногие животные, которые всё же плавают по поверхности, в основном полуводные, например утки, ондатры, норки и выдры, и расплачиваются за это повышенным сопротивлением, большими затратами энергии и ограниченной скоростью. Тюлень, которого буксировали по поверхности, испытывал в 2.5 раза большее сопротивление, чем под водой при той же скорости (Williams & Kooyman, 1985, цит. по Fish, 2000). Гребля лапами, как вёслами, которой пользуются поверхностные пловцы, оказывается для млекопитающих самым затратным способом плавания; а быстрее «скорости корпуса» по поверхности почти не разогнаться: на этой скорости носовая волна вырастает до длины самого тела, и животное, по словам Фиша, «фактически оказывается в ловушке волновой впадины» (Fish, 2000, с. 686). Утята обходят это ограничение двумя способами: приподнимаются над водой и глиссируют, разгоняясь до четырёх своих «скоростей корпуса» (Aigeldinger & Fish, 1995), или плывут цепочкой за уткой, оседлав поднятую ею волну (Yuan et al., 2021).
>
> Человек плывёт по поверхности потому, что ему нужно дышать, а не потому, что так быстрее. Как мы уже видели, элитный спринтер-кролист плывёт при числе Фруда до 0.46 (Колмогоров, 2008), то есть около «скорости корпуса» для тела такой длины (число Фруда около 0.4), как раз там, где волновое сопротивление растёт круче всего. Поэтому после старта и каждого поворота пловцы какое-то время остаются под водой: тело ещё сохраняет скорость, набранную в прыжке или при отталкивании от стенки, а под поверхностью теряет её на волнах меньше. Некоторые пловцы, работая под водой дельфиньим ударом на спине и на груди, оказались быстрее, чем на поверхности, и теперь правила ограничивают подводную часть 15 метрами в вольном стиле, на спине и дельфином.


## Как отделить тягу от сопротивления

Те же три составляющие действуют и на пловца, который плывёт сам, но у него даже их сумму, сопротивление в целом, невозможно измерить отдельно от тяги. Наблюдения за течением наглядно показывают почему. В отличие от буксируемого тела, кисти и стопы пловца всё время меняют скорость и направление, поэтому течение вокруг них никогда не становится установившимся (Matsuuchi et al., 2009; Takagi et al., 2016). В гидроканале было видно, как в момент, когда кисть кролиста меняла направление бокового движения на противоположное, вихрь, который она несла, срывался в воду, вокруг кисти возникал новый вихрь противоположного вращения, и эта пара отбрасывала назад струю воды (Matsuuchi et al., 2009). В опытах, где силу, давление и течение регистрировали одновременно, на роботизированной кисти и на кисти пловца, выполнявшего скаллинговые движения, наибольшие силы возникали, когда на тыльной стороне кисти образовывался вихрь и давление там падало. Причём эти силы намного превышали расчёт для установившегося обтекания: 11.9 Н сопротивления против 6.9 Н у робота и 49.4 Н против 22.8 Н у пловца (Takagi et al., 2013; Takagi, Shimada, et al., 2014).

Похожая картина и при движениях ногами: при ударе дельфином за стопами после движения вниз появлялась пара вихрей противоположного вращения со струёй между ними, что соответствует вихревому кольцу (Miwa et al., 2006). Расчёты действительно воспроизводят такие кольца (Pacholak et al., 2014), хотя квазитрёхмерное измерение следа показало саму пару вихрей и струю, но не замкнутое кольцо (Shimojo et al., 2019). Более того, вихрь, сорвавшийся за сгибающимся коленом, ноги снова встречали на следующем движении вверх; авторы считают, что так пловец повторно использует энергию собственного вихря (Hochstein & Blickhan, 2011). Те же вихри ещё больше путают учёт сил: когда роботизированная рука вела кисть прямо назад, ладонью вперёд, кисть поочерёдно срывала вихри то с одного, то с другого края, как любое тупое тело, и сопротивление, которое она испытывала, как раз и было тягой пловца (Takagi, Nakashima, et al., 2014). Тяга и сопротивление возникают в одной и той же возмущённой воде, от одних и тех же движений и в одни и те же моменты; для нестационарного самостоятельного плавания Ungerechts и Klauck (2006) возводят это в принцип: источники сопротивления и тяги разделить нельзя.

А раз так, то каждый метод, как правило, строится как цепочка рассуждений. Он вводит допущения, при которых суммарную силу можно разделить, и сообщает величину сопротивления, справедливую при этих допущениях. Почти все методы измерения активного сопротивления опираются на два базовых допущения.

Первое допущение касается стационарности. Если пловец от цикла к циклу держит одну и ту же среднюю скорость, то за полный цикл средняя сила тяги равна средней силе сопротивления. Это прямо следует из второго закона Ньютона и сомнению не подлежит. Допущение начинается на следующем шаге: большинство методов рассматривают пловца как тело, равномерно движущееся с этой средней скоростью, и применяют к средним величинам соотношения, справедливые для установившегося движения. На самом деле в каждом цикле тело вместе с окружающей его водой то разгоняется, то тормозится, и сопротивление в каждый момент зависит от этих ускорений, а не только от скорости. Вода, которую приходится разгонять вместе с телом, его присоединённая масса ($M_\mathrm{A}$), входит в баланс сил инерционным членом $(m + M_\mathrm{A}) \cdot \mathrm{d}v/\mathrm{d}t$; эта сила действует, только пока скорость меняется, и к гидродинамическому сопротивлению не относится. У спринтеров, разгоняющихся с места, присоединённую массу оценили в 28.7 ± 15.2 % массы тела (Carmigniani et al., 2025), что близко к 25 %, измеренным у полностью погружённых пловцов в скольжении (Caspersen et al., 2010, цит. по Carmigniani et al., 2025); по натурным испытаниям Колмогорова она составила 10–14 %, что близко к теоретическому значению для вытянутого эллипсоида вращения того же объёма, движущегося вдоль длинной оси (Колмогоров, 2008). Величина, таким образом, зависит от способа оценки. Как отмечал Toussaint (2002), «в большинстве исследований, если не во всех, предполагается, что пловец плывёт с постоянной скоростью, и сопротивление рассматривается как стационарный процесс» (с. 20–21), тогда как внутри цикла скорость какая угодно, только не постоянная.

Второе допущение связано со степенным законом: считается, что сопротивление подчиняется зависимости $D = k \cdot v^{n}$, где $D$ обозначает сопротивление, $v$ скорость, $k$ постоянный для данного пловца коэффициент, а $n$ показатель степени, почти всегда равный 2 (хрестоматийная формула $D = \tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot C_\mathrm{d} \cdot A \cdot v^2$, где $\rho$ обозначает плотность воды, $C_\mathrm{d}$ коэффициент сопротивления, а $A$ выбранную площадь тела). Однако, как мы видели в разделе о трёх видах сопротивления, измеренные показатели степени далеко не всегда равны двум, а волновая составляющая сама по себе может расти ближе к $v^3$ (примерно как $v^{2.9}$ у пассивного манекена; Vennell et al., 2006).

За этими двумя допущениями стоит и более глубокая проблема, на которую указывали несколько авторов. Как показали Bale et al. (2014) в численном моделировании волнообразно плывущих рыб и роботизированного плавника, полную гидродинамическую силу, действующую на самодвижущееся тело, можно однозначно разделить на «тягу» и «сопротивление» лишь для некоторых видов движения, а сопротивление при буксировке и сопротивление «замороженной позы» в общем случае дают неверный ответ. Hochstein et al. (2014) прямо пишут: «поскольку при плавании сопротивление и тяга переплетены, удовлетворительного метода прямого экспериментального определения активного сопротивления не существует». По мнению Webb et al. (2011), активное сопротивление «можно рассматривать как составную величину, которая включает и сопротивление самого пловца, и тягу, создаваемую при данных скорости и темпе» (с. 133). Показательна и работа Mason et al. (2014), где сравнили три расчётных способа получить кривую мгновенного сопротивления внутри цикла: два дали почти одинаковые кривые, а третий дал размах на 40–65 % шире при той же равнодействующей, так что выбирать между ними авторам пришлось из соображений правдоподобия. Сами по себе данные не определяют, как разделить силы.

Держите эту мысль в уме на протяжении всей серии. Если два метода расходятся, это вовсе не значит, что один из них непременно ошибается: вполне возможно, они измеряют две разные составные величины, у которых по традиции одно общее название, «активное сопротивление».

## Краткая история попыток

Больше века к сопротивлению пловца подходили с самых разных сторон: через дыхание пловца, через упоры под кистями, через буксировку, привязь и гидроканал. На временной шкале видно, когда появлялся каждый метод и когда методы впервые начали сравнивать на одних и тех же пловцах.

**Рисунок 6.** Девяносто лет попыток. Над линией показаны методы, а под ней сравнения на одних и тех же пловцах.

Временная шкала с 1930 по 2025 год; после 1985 года масштаб растянут. Над линией методы: Karpovich, пассивная буксировка (1933); Counsilman, силы в кроле (1955); di Prampero et al., энергетическая экстраполяция (1974); Clarys, форма тела против техники (1979); система MAD, Hollander et al. (1986); SPM, или VPM, Колмогоров и Дуплищева (1992); 797 пловцов, Колмогоров и др. (1997); остаточная тяга в гидроканале, Takagi (1999); вспомогательная буксировка, Alcock и Mason (2007); HRM, Колмогоров (2008); NABA, Webb et al. (2011); MRT, Narita et al. (2017); VPM с роботизированным нагрузочным устройством и его надёжность, Gonjo и Olstad (2022); обзор Sacilotto и стенд Колмогорова с одной попыткой (2023); остаточная тяга на привязи, Cortesi (2024). Под линией сравнения на одних и тех же пловцах: MAD и VPM, Toussaint, Roos и Колмогоров (2004); MAD и ATM, Formosa et al. (2012); семинар AIS: VPM, ATM и RTM на 13 пловцах (2013); MRT и MAD, Narita et al. (2018); датчики давления на кистях и VPM, Morais et al. (2023).


Первым исследователи научились измерять именно пассивное сопротивление. В самых ранних опытах человека просто тянули по воде и измеряли нужное для этого усилие: сначала с гребной лодки (du Bois-Reymond, 1905, цит. по Toussaint et al., 2004), затем с помощью ворота на берегу (Liljestrand & Stenström, 1920, цит. по Toussaint et al., 2004). Karpovich (1933, цит. по Havriluk, 2005) по результатам буксировочных опытов опубликовал работу «Сопротивление воды при плавании» (Water Resistance in Swimming); позже Counsilman (1955, цит. по Колмогоров и др., 1997) измерял силы при двух вариантах техники кроля, а Clarys с коллегами в 1970-е годы буксировали большие группы пловцов и сопоставляли сопротивление с формой тела (Clarys et al., 1974, цит. по Колмогоров и др., 1997). В итоге Clarys (1979, цит. по Колмогоров и др., 1997) пришёл к выводу, что размеры и форма тела влияют на пассивное сопротивление, но не на активное, а значит, активное сопротивление определяется техникой. Этот вывод и сегодня широко цитируют в литературе.

Первые оценки самого активного сопротивления были косвенными: di Prampero et al. (1974, цит. по Zamparo et al., 2009) измеряли потребление кислорода у пловца, плывущего с постоянной скоростью, когда известная внешняя сила помогала ему или мешала, а затем экстраполировали эту зависимость до такого значения силы, при котором затраты энергии снизились бы до уровня покоя. По их данным, активное сопротивление в два-три раза превышало пассивное.

В 1986 году нидерландские исследователи создали систему MAD (Hollander et al., 1986): ряд неподвижных подводных упоров на штанге, соединённой с датчиком силы, который регистрирует каждое отталкивание. Пловец плывёт кролем на груди только на руках, с колобашкой между ног, и отталкивается кистями от этих упоров. Так продвигающую силу впервые удалось измерить напрямую. Полученные значения оказались близки к пассивному сопротивлению и намного ниже энергетических оценок. Последующие работы Toussaint о продвигающей эффективности, а также вывод Toussaint et al. (1988, цит. по Колмогоров и др., 1997) о том, что сопротивление олимпийского чемпиона намного ниже, чем у пловца среднего уровня, сделали систему MAD эталонной установкой 1990-х годов.

Иным путём пошла группа Колмогорова. Колмогоров и Дуплищева (1992) опубликовали на английском языке метод малых возмущений, разработку которого сам Колмогоров относит к концу 1980-х годов (Колмогоров, 2025). Пловец проплывает две попытки с максимальной скоростью, одну свободно, а в другой буксирует тело с известным сопротивлением; активное сопротивление рассчитывают по снижению скорости, исходя из допущения о равной мощности. Формула метода, $D = F_\mathrm{b} \cdot v_2 \cdot v_1^2 \,/\, (v_1^3 - v_2^3)$, где $D$ обозначает активное сопротивление при свободной скорости $v_1$, $v_2$ скорость с нагрузкой, а $F_\mathrm{b}$ собственное сопротивление нагрузки при скорости $v_2$, стала общей для всего семейства методов возмущения: на той же алгебре построены и вспомогательная, и тормозящая буксировка (часть 3). Метод работал во всех способах плавания и в обычном бассейне. Полученные с его помощью значения были близки к пассивному сопротивлению, а у некоторых пловцов даже ниже его. За пять лет, предшествовавших Олимпийским играм 1992 года, группа Колмогорова обследовала 797 пловцов (Колмогоров и др., 1997). В дальнейшем метод стали применять для контроля по ходу сезона (Колмогоров и др., 2000), объединили с балансом мгновенных сил (Колмогоров, 2008), а в 2011 году группа построила над дорожкой 50-метрового бассейна гидродинамический стенд, который позволяет определить активное сопротивление по одной попытке на 50 м. Пловец буксирует тело с известным сопротивлением, подвешенное на каретке к тросу над дорожкой, от отметки 3 м до отметки 23 м; там тело отцепляется, и дальше пловец плывёт свободно, так что одна попытка даёт и скорость с нагрузкой, и свободную скорость (Колмогоров, 2023).

Третий путь, через гидроканал, выбрали японские исследователи. Takagi et al. (1999) вслед за японской версией работы, вышедшей в 1998 году, представили собственный метод. Пловец плывёт на месте против течения, закреплённый привязью к датчику силы, в заранее заданном темпе. В стоячей воде на привязь приходится вся продвигающая сила; когда скорость течения ступенями повышают, часть продвигающей силы уходит на преодоление сопротивления тела пловца, и на привязь приходится меньше (так называемая остаточная тяга). Если считать, что при неизменном темпе продвигающая сила остаётся прежней, сопротивление при каждой скорости течения равно разности этих двух сил. Полученные значения оказались выше пассивного сопротивления, и авторы поставили под сомнение допущение о том, что сопротивление пропорционально $v^2$. В более поздних вариантах метода тяга может снижаться с ростом скорости потока (часть 4).

В 2000-е годы появились новые подходы и первые сравнения методов на одних и тех же пловцах: сравнение MAD с методом возмущения (Toussaint et al., 2004); метод вспомогательной буксировки Австралийского института спорта (Alcock & Mason, 2007) и его сравнение с MAD (Formosa et al., 2012); подход, заимствованный из расчёта сопротивления судов (Webb et al., 2011). Наконец, на семинаре AIS 2013 года Toussaint, Колмогоров, Wilson и группа AIS опробовали в одном эксперименте метод возмущения, вспомогательную и тормозящую буксировку и пришли к выводу, что «результаты, полученные разными методами тестирования активного сопротивления, безусловно, в целом не согласуются друг с другом» (Mason, Kolmogorov, et al., 2013), хотя в одной из двух групп вспомогательная буксировка расставила пловцов по величине сопротивления почти так же, как метод возмущения ($r = 0.96$; подробнее в части 5). Впрочем, совпадение порядка пловцов ещё не означает совпадения самих значений.

Последнее десятилетие принесло усовершенствованные варианты метода остаточной тяги (Cortesi et al., 2024; Narita et al., 2017; Narita, Nakashima, & Takagi, 2018); ещё два сравнения на одних и тех же пловцах: остаточной тяги в гидроканале с MAD (Narita, Ogita, et al., 2018) и датчиков давления на кистях с методом возмущения (Morais et al., 2023); подробное исследование надёжности метода возмущения с роботизированным нагрузочным устройством (Gonjo & Olstad, 2022); и обстоятельный нарративный обзор (Sacilotto et al., 2023).

Спустя больше века после первых буксировочных опытов в арсенале науки дюжина методов, считаные прямые сравнения и ни одного общепризнанного эталона. Почему так сложилось и насколько это важно на практике, разберём в следующих четырёх статьях.

## Что показывает эта часть

Пассивное сопротивление можно строго определить как силу и измерить с хорошей повторяемостью. Активное сопротивление, по сути, не измеряют, а выводят: каждый метод регистрирует какую-то другую величину и рассчитывает сопротивление на основе собственных допущений, и у разных методов эти допущения не совпадают. Поэтому само по себе число для активного сопротивления мало что значит без метода, протокола и погрешности, а два значения, полученные двумя методами, нельзя без проверки принимать за два измерения одной и той же величины. Следующая статья начинается с двух старейших методов, стоящих на противоположных концах шкалы: энергетического, который определяет сопротивление по дыханию пловца, и системы MAD, которая даёт рукам твёрдую опору.

## Методы коротко

Каждый метод в серии регистрирует то, что можно измерить, и по этому рассчитывает сопротивление при некотором допущении. Таблица служит картой для следующих статей: каждая её строка подробно разобрана в своей части.

| Метод | Что регистрируется | Что рассчитывается | Главное допущение | Для какой задачи |
|---|---|---|---|---|
| Энергетический метод (часть 2) | Потребление кислорода при заданной скорости, когда известные внешние силы помогают пловцу или тормозят его | Помогающая сила, при которой метаболическая стоимость плавания упала бы до уровня покоя; её принимают за сопротивление | Стоимость растёт линейно с внешней силой, КПД не меняется | Связать сопротивление с метаболической стоимостью, на аэробных скоростях |
| MAD (часть 2) | Сила на неподвижных упорах, только руки, при нескольких постоянных скоростях | Средняя сила на упорах как сопротивление; кривая «сопротивление — скорость» | Баланс сил, усреднённый по циклу; отталкивание от упоров заменяет свободный гребок | Кривая сопротивления в кроле с известной повторяемостью, только руки |
| Метод малых возмущений (часть 3) | Средние скорости свободной и нагруженной максимальных попыток; собственное сопротивление нагрузки | Сопротивление при свободной скорости, $D = F_\mathrm{b} \cdot v_2 \cdot v_1^2/(v_1^3 - v_2^3)$, где $v_1$ обозначает свободную скорость, $v_2$ скорость с нагрузкой, а $F_\mathrm{b}$ сопротивление нагрузки при $v_2$ | Равная мощность в обеих попытках; $D = k \cdot v^2$ при постоянном $k$ | Одно значение на максимальной скорости, любым способом плавания, в бассейне |
| Вспомогательная и тормозящая буксировка (часть 3) | Сила буксировки при заданной скорости чуть выше или ниже максимальной; свободная скорость | Уравнение метода возмущения, где $v_2$ обозначает скорость на буксире; в знаменателе $v_2^3 - v_1^3$ при помогающей силе и $v_1^3 - v_2^3$ при тормозящей, приложенная сила берётся по модулю | Равная мощность при буксировке и в свободном плавании; $D = k \cdot v^2$ при постоянном $k$ | Максимальная скорость, с силой на протяжении цикла |
| Остаточная тяга в гидроканале (часть 4) | Сила на привязи при заданном темпе на восьми скоростях потока | Коэффициент сопротивления и сопротивление при скорости свободного плавания по подобранной модели | Параметры тяги и сопротивления в модели одинаковы на всех испытанных скоростях | Сопротивление вблизи свободной скорости, если есть гидроканал |
| Остаточная тяга в бассейне (часть 4) | Сила на полной привязи; сила и скорость в попытках в полупривязном режиме | Сопротивление как разность двух сил | Тяга одинакова на привязи и в движении | Спринтеры, без гидроканала |
| Метод гидродинамической реакции (часть 4) | Скорость туловища; объём и положение тела по видео; коэффициенты из испытаний в гидроканале | Фронтальное сопротивление тела на протяжении цикла | К реконструированному гребку применяются коэффициенты сопротивления для каждого положения тела и нестационарная поправка; движители исключены | Собственное сопротивление тела внутри цикла |

## Обозначения в серии

Одни и те же величины встречаются в каждой статье, и в литературе их не всегда различают.

| Обозначение | Что это | Единица |
|---|---|---|
| $D$ | Сопротивление, сила, с которой вода тормозит тело; $D_\mathrm{p}$, пассивное сопротивление тела, которое буксируют в неизменной позе | Н |
| $F_\mathrm{p}$ | Продвигающая сила (тяга) | Н |
| $T$ | Остаточная тяга, тяга минус сопротивление, найденная по натяжениям привязей (направление вперёд считается положительным) | Н |
| $v$, $U$ | Скорость плавания; $U$, скорость потока в гидроканале | `м/с` |
| $k = D/v^2$ | Размерный коэффициент сопротивления, если считать, что сопротивление растёт пропорционально квадрату скорости | `кг/м` |
| $C_\mathrm{d}$ | Безразмерный коэффициент сопротивления, $D/(\tfrac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2)$, где $\rho$ обозначает плотность воды; его значение зависит от выбранной площади $A$ (площадь миделя, объём тела в степени 2/3 или другая) | – |
| $P_\mathrm{D} = D \cdot v$ | Мощность на преодоление сопротивления; что в неё входит, зависит от того, что автор включает в $D$ (часть 4) | `Вт` |
| Механическая мощность | Вся внешняя механическая мощность пловца: мощность против сопротивления и мощность, потерянная на разгон воды | `Вт` |
| Метаболическая мощность | Скорость расхода метаболической энергии; потребление кислорода даёт её аэробную часть, а при интенсивном плавании добавляется анаэробная | `Вт` |

## Статьи серии

1. Что такое активное сопротивление и почему его приходится оценивать косвенно (эта статья)
2. [Упоры и маски: система MAD и энергетический метод](/ru/blog/active-drag-2-pads-and-masks/)
3. [Две попытки, одна мощность: методы возмущения](/ru/blog/active-drag-3-two-swims-one-power/)
4. [Остаточная тяга и гидродинамическая реакция](/ru/blog/active-drag-4-residual-thrust/)
5. [Почему методы расходятся и что из этого взять тренеру](/ru/blog/active-drag-5-why-they-disagree/)

## Литература

- Achenbach, E. (1972). Experiments on the flow past spheres at very high Reynolds numbers. *Journal of Fluid Mechanics, 54*(3), 565–575. https://doi.org/10.1017/S0022112072000874
- Aigeldinger, T. L., & Fish, F. E. (1995). Hydroplaning by ducklings: Overcoming limitations to swimming at the water surface. *Journal of Experimental Biology, 198*, 1567–1574.
- Alcock, A., & Mason, B. (2007). Biomechanical analysis of active drag in swimming. In H.-J. Menzel & M. H. Chagas (Eds.), *Proceedings of the XXV International Symposium on Biomechanics in Sports* (pp. 212–215). https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/438
- Au, D., & Weihs, D. (1980). At high speeds dolphins save energy by leaping. *Nature, 284*(5756), 548–550. https://doi.org/10.1038/284548a0
- Bale, R., Shirgaonkar, A. A., Neveln, I. D., Bhalla, A. P. S., MacIver, M. A., & Patankar, N. A. (2014). Separability of drag and thrust in undulatory animals and machines. *Scientific Reports, 4*, Article 7329. https://doi.org/10.1038/srep07329
- Barbosa, T. M. (2018). Hydrodynamics. In G. J. Mullen (Ed.), *Swimming science: Optimizing training and performance* (pp. 12–39). University of Chicago Press. https://doi.org/10.7208/chicago/9780226287980.001.0001
- Bearman, P. W., & Harvey, J. K. (1976). Golf ball aerodynamics. *Aeronautical Quarterly, 27*(2), 112–122. https://doi.org/10.1017/S0001925900007617
- Bechert, D. W., Bruse, M., & Hage, W. (2000). Experiments with three-dimensional riblets as an idealized model of shark skin. *Experiments in Fluids, 28*(5), 403–412. https://doi.org/10.1007/s003480050400
- Bixler, B., Pease, D., & Fairhurst, F. (2007). The accuracy of computational fluid dynamics analysis of the passive drag of a male swimmer. *Sports Biomechanics, 6*(1), 81–98. https://doi.org/10.1080/14763140601058581
- Carmigniani, R., Coloretti, V., Brunel, T., Bosetto, P., Fantozzi, S., Cortesi, M., & Zamparo, P. (2025). A novel method for assessing added mass in front crawl swimming. *Journal of Biomechanics, 189*, Article 112816. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2025.112816
- Cortesi, M., & Gatta, G. (2015). Effect of the swimmer's head position on passive drag. *Journal of Human Kinetics, 49*(1), 37–45. https://doi.org/10.1515/hukin-2015-0106
- Cortesi, M., Gatta, G., Carmigniani, R., & Zamparo, P. (2024). Estimating active drag based on full and semi-tethered swimming tests. *Journal of Sports Science and Medicine, 23*(1), 17–24. https://doi.org/10.52082/jssm.2024.17
- Dickson, T. A. J., Taunton, D., Banks, J., Hudson, D., & Turnock, S. (2020). *Quantifying the wave resistance of a swimmer* [Preprint]. bioRxiv. https://doi.org/10.1101/2020.06.22.164236
- Fish, F. E. (2000). Biomechanics and energetics in aquatic and semiaquatic mammals: Platypus to whale. *Physiological and Biochemical Zoology, 73*(6), 683–698. https://doi.org/10.1086/318108
- Fish, F. E. (2006). The myth and reality of Gray's paradox: Implication of dolphin drag reduction for technology. *Bioinspiration & Biomimetics, 1*(2), R17–R25. https://doi.org/10.1088/1748-3182/1/2/R01
- Formosa, D. P., Toussaint, H. M., Mason, B. R., & Burkett, B. (2012). Comparative analysis of active drag using the MAD system and an assisted towing method in front crawl swimming. *Journal of Applied Biomechanics, 28*(6), 746–750. https://doi.org/10.1123/jab.28.6.746
- Gonjo, T., & Olstad, B. H. (2022). Reliability of the active drag assessment using an isotonic resisted sprint protocol in human swimming. *Scientific Reports, 12*(1), Article 13085. https://doi.org/10.1038/s41598-022-17415-5
- Havriluk, R. (2005). Performance level differences in swimming: A meta-analysis of passive drag force. *Research Quarterly for Exercise and Sport, 76*(2), 112–118. https://doi.org/10.1080/02701367.2005.10599273
- Hochstein, S., & Blickhan, R. (2011). Vortex re-capturing and kinematics in human underwater undulatory swimming. *Human Movement Science, 30*(5), 998–1007. https://doi.org/10.1016/j.humov.2010.07.002
- Hochstein, S., Pacholak, S., Brücker, C., Siebert, T., & Blickhan, R. (2014). Drag reduction by underwater undulatory swimming? An experimental and numerical approach. In B. Mason (Ed.), *Proceedings of the XIIth International Symposium on Biomechanics and Medicine in Swimming*. Australian Institute of Sport.
- Hollander, A. P., de Groot, G., van Ingen Schenau, G. J., Toussaint, H. M., de Best, H., Peeters, W., Meulemans, A., & Schreurs, A. W. (1986). Measurement of active drag during crawl arm stroke swimming. *Journal of Sports Sciences, 4*(1), 21–30. https://doi.org/10.1080/02640418608732094
- James, M. C. (2016). *On the search to reduce a swimmer's resistance: Surface-piercing bluff bodies over the critical Re-Fr range* [Doctoral dissertation, University of Southampton].
- Koeltzsch, K., Dinkelacker, A., & Grundmann, R. (2002). Flow over convergent and divergent wall riblets. *Experiments in Fluids, 33*(2), 346–350. https://doi.org/10.1007/s00348-002-0446-3
- Kolmogorov, S. (2023). Development of the technology to measure active drag of swimmers by the method of small perturbations. *Journal of Biomechanics, 149*, Article 111486. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2023.111486
- Kolmogorov, S., Lyapin, S., Rumyantseva, O., & Vilas-Boas, J. P. (2000). Technology for decreasing active drag at the maximal swimming velocity. In R. Sanders & Y. Hong (Eds.), *Proceedings of XVIII International Symposium on Biomechanics in Sports: Applied program – Application of biomechanical study in swimming* (pp. 39–47). The Chinese University Press. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/2152
- Kolmogorov, S. V., & Duplishcheva, O. A. (1992). Active drag, useful mechanical power output and hydrodynamic force coefficient in different swimming strokes at maximal velocity. *Journal of Biomechanics, 25*(3), 311–318. https://doi.org/10.1016/0021-9290(92)90028-Y
- Kolmogorov, S. V., Rumyantseva, O. A., Gordon, B. J., & Cappaert, J. M. (1997). Hydrodynamic characteristics of competitive swimmers of different genders and performance levels. *Journal of Applied Biomechanics, 13*(1), 88–97. https://doi.org/10.1123/jab.13.1.88
- Marinho, D. A., Reis, V. M., Alves, F. B., Vilas-Boas, J. P., Machado, L., Silva, A. J., & Rouboa, A. I. (2009). Hydrodynamic drag during gliding in swimming. *Journal of Applied Biomechanics, 25*(3), 253–257. https://doi.org/10.1123/jab.25.3.253
- Mason, B., Kolmogorov, S., Wilson, B., Toussaint, H., Sinclair, P., Schreven, S., Sacilotto, G., Dominguez, R., & Hazrati, P. (2013). Comparison between active drag values estimated using both the velocity perturbation method and the A.I.S. assisted towing method. In T.-Y. Shiang, W.-H. Ho, P. C. Huang, & C.-L. Tsai (Eds.), *Proceedings of the 31st International Conference on Biomechanics in Sports*. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/5559
- Mason, B. R., Sacilotto, G. B., Hazrati, P., & Franco, R. (2014). Three different calculations to compute a swimmer's instantaneous active drag profile and variations in the parameter values that arise as a consequence. In B. Mason (Ed.), *Proceedings of the XIIth International Symposium for Biomechanics and Medicine in Swimming* (pp. 168–174). Australian Institute of Sport.
- Matsuuchi, K., Miwa, T., Nomura, T., Sakakibara, J., Shintani, H., & Ungerechts, B. E. (2009). Unsteady flow field around a human hand and propulsive force in swimming. *Journal of Biomechanics, 42*(1), 42–47. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2008.10.009
- Miwa, T., Matsuuchi, K., Shintani, H., Kamata, E., & Nomura, T. (2006). Unsteady flow measurement of dolphin kicking wake in sagittal plane using 2C-PIV. *Revista Portuguesa de Ciências do Desporto, 6*(Suppl. 2), 64–66.
- Mollendorf, J. C., Termin, A. C., Oppenheim, E., & Pendergast, D. R. (2004). Effect of swim suit design on passive drag. *Medicine & Science in Sports & Exercise, 36*(6), 1029–1035. https://doi.org/10.1249/01.MSS.0000128179.02306.57
- Morais, J. E., Barbosa, T. M., Garrido, N. D., Cirilo-Sousa, M. S., Silva, A. J., & Marinho, D. A. (2023). Agreement between different methods to measure the active drag coefficient in front-crawl swimming. *Journal of Human Kinetics, 86*, 41–49. https://doi.org/10.5114/jhk/159605
- Narita, K., Nakashima, M., & Takagi, H. (2017). Developing a methodology for estimating the drag in front-crawl swimming at various velocities. *Journal of Biomechanics, 54*, 123–128. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2017.01.037
- Narita, K., Nakashima, M., & Takagi, H. (2018). Effect of leg kick on active drag in front-crawl swimming: Comparison of whole stroke and arms-only stroke during front-crawl and the streamlined position. *Journal of Biomechanics, 76*, 197–203. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2018.05.027
- Narita, K., Ogita, F., Nakashima, M., & Takagi, H. (2018). Comparison of active drag using the MRT-method and the MAD-system in front crawl swimming. *Proceedings, 2*(6), Article 287. https://doi.org/10.3390/proceedings2060287
- NASA Glenn Research Center. (2025, September 9). *Shape effects on drag*. Beginner's Guide to Aeronautics. https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/shape-effects-on-drag/
- Pacholak, S., Hochstein, S., Rudert, A., & Brücker, C. (2014). Unsteady flow phenomena in human undulatory swimming: A numerical approach. *Sports Biomechanics, 13*(2), 176–194. https://doi.org/10.1080/14763141.2014.893609
- Pendergast, D., Mollendorf, J., Zamparo, P., Termin, A., II, Bushnell, D., & Paschke, D. (2005). The influence of drag on human locomotion in water. *Undersea & Hyperbaric Medicine, 32*(1), 45–57.
- Polidori, G., Taiar, R., Fohanno, S., Mai, T. H., & Lodini, A. (2006). Skin-friction drag analysis from the forced convection modeling in simplified underwater swimming. *Journal of Biomechanics, 39*(13), 2535–2541. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2005.07.013
- Roberts, B. S., Kamel, K. S., Hedrick, C. E., McLean, S. P., & Sharp, R. L. (2003). Effect of a FastSkin suit on submaximal freestyle swimming. *Medicine & Science in Sports & Exercise, 35*(3), 519–524. https://doi.org/10.1249/01.MSS.0000053699.91683.CD
- Sacilotto, G., Sanders, R., Gonjo, T., Marinho, D., Mason, B., Naemi, R., Vilas-Boas, J. P., & Papic, C. (2023). “Selecting the right tool for the job” a narrative overview of experimental methods used to measure or estimate active and passive drag in competitive swimming. *Sports Biomechanics, 22*(12), 1572–1589. https://doi.org/10.1080/14763141.2023.2197858
- Sato, Y., & Hino, T. (2010). CFD simulation of flows around a swimmer in a prone glide position. *Japanese Journal of Sciences in Swimming and Water Exercise, 13*(1), 1–9. https://doi.org/10.2479/swex.13.1
- Sharp, R. L., & Costill, D. L. (1989). Influence of body hair removal on physiological responses during breaststroke swimming. *Medicine and Science in Sports and Exercise, 21*(5), 576–580.
- Shimojo, H., Gonjo, T., Sakakibara, J., Sengoku, Y., Sanders, R., & Takagi, H. (2019). A quasi three-dimensional visualization of unsteady wake flow in human undulatory swimming. *Journal of Biomechanics, 93*, 60–69. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2019.06.013
- Takagi, H., Nakashima, M., Ozaki, T., & Matsuuchi, K. (2013). Unsteady hydrodynamic forces acting on a robotic hand and its flow field. *Journal of Biomechanics, 46*(11), 1825–1832. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2013.05.006
- Takagi, H., Nakashima, M., Ozaki, T., & Matsuuchi, K. (2014). Unsteady hydrodynamic forces acting on a robotic arm and its flow field: Application to the crawl stroke. *Journal of Biomechanics, 47*(6), 1401–1408. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2014.01.046
- Takagi, H., Nakashima, M., Sato, Y., Matsuuchi, K., & Sanders, R. H. (2016). Numerical and experimental investigations of human swimming motions. *Journal of Sports Sciences, 34*(16), 1564–1580. https://doi.org/10.1080/02640414.2015.1123284
- Takagi, H., Shimada, S., Miwa, T., Kudo, S., Sanders, R., & Matsuuchi, K. (2014). Unsteady hydrodynamic forces acting on a hand and its flow field during sculling motion. *Human Movement Science, 38*, 133–142. https://doi.org/10.1016/j.humov.2014.09.003
- Takagi, H., Shimizu, Y., & Kodan, N. (1999). A hydrodynamic study of active drag in swimming. *JSME International Journal Series B: Fluids and Thermal Engineering, 42*(2), 171–177. https://doi.org/10.1299/jsmeb.42.171
- Tor, E., Pease, D. L., & Ball, K. A. (2015). How does drag affect the underwater phase of a swimming start? *Journal of Applied Biomechanics, 31*(1), 8–12. https://doi.org/10.1123/jab.2014-0081
- Toussaint, H. M. (2002). Biomechanics of propulsion and drag in front crawl swimming [Keynote lecture]. In K. E. Gianikellis (Ed.), *Proceedings of the XXth International Symposium on Biomechanics in Sports* (pp. 13–22). University of Extremadura. https://ojs.ub.uni-konstanz.de/cpa/article/view/613
- Toussaint, H. M., Roos, P. E., & Kolmogorov, S. (2004). The determination of drag in front crawl swimming. *Journal of Biomechanics, 37*(11), 1655–1663. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2004.02.020
- Toussaint, H. M., Truijens, M., Elzinga, M.-J., van de Ven, A., de Best, H., Snabel, B., & de Groot, G. (2002). Effect of a Fast-skin 'body' suit on drag during front crawl swimming. *Sports Biomechanics, 1*(1), 1–10. https://doi.org/10.1080/14763140208522783
- Ungerechts, B. E., & Klauck, J. (2006). Consequences of unsteady flow effects for functional attribution of swimming strokes. *Revista Portuguesa de Ciências do Desporto, 6*(Suppl. 2), 109–111.
- Vennell, R., Pease, D., & Wilson, B. (2006). Wave drag on human swimmers. *Journal of Biomechanics, 39*(4), 664–671. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2005.01.023
- Webb, A., Banks, J., Phillips, C., Hudson, D., Taunton, D., & Turnock, S. (2011). Prediction of passive and active drag in swimming. *Procedia Engineering, 13*, 133–140. https://doi.org/10.1016/j.proeng.2011.05.063
- Wilson, B., & Thorp, R. (2003). Active drag in swimming. In J.-C. Chatard (Ed.), *Biomechanics and medicine in swimming IX* (pp. 15–20). Publications de l'Université de Saint-Étienne.
- Wilson, B. D. (2018). Technology for within stroke analysis in swimming. *ISBS Proceedings Archive, 36*(1), 1024–1027. https://commons.nmu.edu/isbs/vol36/iss1/253
- Yuan, Z.-M., Chen, M., Jia, L., Ji, C., & Incecik, A. (2021). Wave-riding and wave-passing by ducklings in formation swimming. *Journal of Fluid Mechanics, 928*, Article R2. https://doi.org/10.1017/jfm.2021.820
- Zaïdi, H., Fohanno, S., Taïar, R., & Polidori, G. (2010). Turbulence model choice for the calculation of drag forces when using the CFD method. *Journal of Biomechanics, 43*(3), 405–411. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2009.10.010
- Zamparo, P., Gatta, G., Pendergast, D., & Capelli, C. (2009). Active and passive drag: The role of trunk incline. *European Journal of Applied Physiology, 106*(2), 195–205. https://doi.org/10.1007/s00421-009-1007-8
- Колмогоров, С. В. (2008). Кинематические и динамические характеристики установившегося нестационарного движения элитных пловцов. *Российский журнал биомеханики, 12*(4), 59–74.
- Колмогоров, С. В. (2025). *Энергетическое обеспечение, гидромеханика и биомеханика спортивного плавания: от исследований к тренерской практике и… обратно*. Editus.